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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 875: Bestimmung von Extrema und Wendepunkten

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimme die lokalen Extremstellen und Wendestellen folgender Funktionen $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

a)
$ f(x) = (x^2 + 1)\exp(x)$
b)
$ f(x) = x^3\exp(x)$
c)
$ f(x) = \sin(x)^3$

(1)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & (x^2 + 2x + 1)\exp(x)\\ ... ... + 4x + 3)\exp(x)\\ f'''(x) & = & (x^2 + 6x + 7)\exp(x)\; .\\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir einen Extremstellenkandidaten bei $ \mbox{$x = -1$}$. Da aber $ \mbox{$f'(x)$}$ zeigt, daß $ \mbox{$f(x)$}$ streng monoton wächst, liegt dort kein lokales Extremum vor.

Wendepunkte erhalten wir bei $ \mbox{$x = -1$}$ (es ist $ \mbox{$f'''(-1) > 0$}$, also Rechts-Links-Kurve) und bei $ \mbox{$x = -3$}$ (es ist $ \mbox{$f'''(-3) < 0$}$, also Links-Rechts-Kurve).

Skizze von $ \mbox{$f(x)$}$.

\includegraphics[width=10cm]{s1_1.eps}

(2)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & (x^3 + 3x^2)\exp(x) \\ ... ...\exp(x) \\ f'''(x) & = & (x^3 + 9x^2 + 18x + 6)\exp(x)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir Extremstellenkandidaten bei $ \mbox{$x = -3$}$ und $ \mbox{$x = 0$}$. Bei $ \mbox{$x = -3$}$ liegt wegen $ \mbox{$f''(-3) > 0$}$ ein Minimum vor. Da aber $ \mbox{$f'$}$ auch zeigt, daß $ \mbox{$f$}$ auf $ \mbox{$[-3,\infty)$}$ streng monoton wächst, liegt bei $ \mbox{$x = 0$}$ kein Extremum vor.

Wendepunkte erhalten wir bei $ \mbox{$x = -3 - \sqrt{3} = -4.73205\ldots$}$ (Rechts-Links-Kurve), bei $ \mbox{$x = -3 + \sqrt{3} = -1.267949\ldots$}$ (Links-Rechts-Kurve) und bei $ \mbox{$x = 0$}$ (Rechts-Links-Kurve).

Skizze von $ \mbox{$f(x)$}$.

\includegraphics[width=10cm]{s1_2.eps}

(3)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(x) & = & 3\sin(x)^2\cos(x)\\ f''... ...os(x)^2 - 1) \\ f'''(x) & = & 3\cos(x)(9\cos(x)^2 - 7)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir Extremstellenkandidaten bei $ \mbox{$x\in\pi\mathbb{Z}$}$ und bei $ \mbox{$x\in\pi/2+\pi\mathbb{Z}$}$. Bei $ \mbox{$x\in\pi\mathbb{Z}$}$ hat die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel, also liegen keine Extrema vor. Bei $ \mbox{$x\in\pi/2 + 2\pi\mathbb{Z}$}$ ist $ \mbox{$f''(x) < 0$}$, also liegt jeweils ein Maximum vor. Bei $ \mbox{$x\in 3\pi/2 + 2\pi\mathbb{Z}$}$ ist $ \mbox{$f''(x) > 0$}$, also liegt jeweils ein Minimum vor.

Wendepunkte erhalten wir bei $ \mbox{$x\in 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Rechts-Links-Kurve), bei $ \mbox{$x\in \pi + 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Links-Rechts-Kurve), bei $ \mbox{$x \in \arccos(\sqrt{3}/3) + 2\pi\mathbb{Z}= 0.9553166\ldots + 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Links-Rechts-Kurve), bei $ \mbox{$x \in \arccos(-\sqrt{3}/3) + 2\pi\mathbb{Z}= 2.186276\ldots + 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Rechts-Links-Kurve) bei $ \mbox{$x \in -\arccos(\sqrt{3}/3) + 2\pi\mathbb{Z}= -0.9553166\ldots + 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Links-Rechts-Kurve), bei $ \mbox{$x \in -\arccos(-\sqrt{3}/3) + 2\pi\mathbb{Z}= -2.186276\ldots + 2\pi\mathbb{Z}$}$ (Rechts-Links-Kurve).

Skizze von $ \mbox{$f(x)$}$.

\includegraphics[width=10cm]{s1_3.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005