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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 876: Optimaler Kegel, Volumenmaximierung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Konstruieren Sie ein Kegel maximalen Volumens
a)
bei vorgegebener Oberfläche ohne Boden ('Trichter'),
b)
bei vorgegebener Gesamtoberfläche ('Tüte').
Geben Sie jeweils das Verhältnis von Höhe zu Grundkreisradius an.

Das zu maximierende Volumen beträgt $ \mbox{$V =  \pi r^2 h/3$}$, mit dem Grundkreisradius $ \mbox{$r$}$ und der Höhe $ \mbox{$h$}$.

(1)
Mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} V(r) & = & \pi r^2 h/3 \vspace*{1mm}... ...*{1mm}\\ & = & \frac{1}{3} \sqrt{F^2 r^2 - \pi^2 r^6} \; , \\ \end{array}$}$
wobei $ \mbox{$F$}$ die Oberfläche ohne Grundkreis bezeichnet, werden
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (V(r)^2)' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 r ... ... \\ (V(r)^2)'' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 - 30\pi^2 r^4)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir für $ \mbox{$r > 0$}$ einen Extremstellenkandidaten von $ \mbox{$V(r)^2$}$ (und damit auch von $ \mbox{$V(r)$}$) bei
$ \mbox{$\displaystyle r \; =\; 3^{-1/4}\sqrt{F/\pi} \; . $}$
Es ist dort $ \mbox{$(V(r)^2)'' < 0$}$, also liegt ein Maximum vor. Die Höhe des Maximalkegels ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle h \; =\; \sqrt{2} \cdot 3^{-1/4} \sqrt{F/\pi}\; , $}$
und wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \frac{h}{r} \; =\; \sqrt{2}\; . $}$

(2)
Mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} V(r) & = & \pi r^2 h/3 \vspace*{1mm}... ...{1mm}\\ & = & \frac{1}{3} \sqrt{F^2 r^2 - 2 F\pi r^4} \; , \\ \end{array}$}$
wobei $ \mbox{$F$}$ die Oberfläche bezeichnet, werden
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (V(r)^2)' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 r ... ... \\ (V(r)^2)'' & = & \frac{1}{9} (2 F^2 - 24 F\pi r^2)\; . \\ \end{array}$}$
Damit erhalten wir für $ \mbox{$r > 0$}$ einen Extremstellenkandidaten von $ \mbox{$V(r)^2$}$ (und damit auch von $ \mbox{$V(r)$}$) bei
$ \mbox{$\displaystyle r \; =\; \frac{1}{2}\sqrt{F/\pi} \; . $}$
Es ist dort $ \mbox{$(V(r)^2)'' < 0$}$, also liegt ein Maximum vor. Die Höhe des Maximalkegels ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle h \; =\; \sqrt{2} \sqrt{F/\pi}\; , $}$
und wir erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \frac{h}{r} \; =\; 2\sqrt{2}\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005