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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 878: Grenzwert von Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Berechne folgende Grenzwerte.

  1. $ \mbox{$\lim_{x\to 0+} x^x$}$ .
  2. $ \mbox{$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{(\sin x)^2}-\frac{1}{x^2}\right)$}$ .
  3. $ \mbox{$\lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{1-x}}{\arccos x}$}$ .
  4. $ \mbox{$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{\arctan x}$}$ .
  5. $ \mbox{$\lim_{\alpha\to\infty}\left(1+\frac{x}{\alpha}\right)^\alpha$}$ .
  6. $ \mbox{$\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin(1/x)+\sin x}{\tan x}$}$ .

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0+} x^x &=& \lim_{x\to 0+}... ...=& \exp\left(\lim_{x\to 0+} (-x)\right)\vspace*{2mm}\\ &=& 1\;. \end{array}$}$

  2. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{(\sin x)... ...\cos x)-16x^2(\cos x)^2+8x^2}\vspace*{2mm}\\ &=& \frac{1}{3}\;. \end{array}$}$

  3. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 1-} \frac{\sqrt{1-x}}{\arc... ...=& \lim_{x\to 1-} \sqrt{1+x}/2\vspace*{2mm}\\ &=& \sqrt{2}/2\;. \end{array}$}$

    Skizze von $ \mbox{$\frac{\sqrt{1-x}}{\arccos x}$}$.

    \includegraphics[width=10cm]{s1_3.eps}

  4. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{\arcta... ... 0} \frac{(1-x^2)^{-1/2}}{(1+x^2)^{-1}}\vspace*{2mm}\\ &=& 1\;. \end{array}$}$

  5. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{\alpha\to\infty}\left(1+\frac{x... ...alpha}\right)^{-1} x\right)\vspace*{2mm}\\ &=& \exp (x)\; .\\ \end{array}$}$

  6. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin(1/x)+\sin... ...lim_{x\to 0} (1+(\tan x)^2)/1} \vspace*{2mm}\\ & = & 1 \; .\\ \end{array}$}$
    L'Hôpital ist nicht direkt anwendbar, da
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(x^2\sin(1/x)+\sin x)'}{(\tan x)'} \... ... =\; \lim_{x\to 0} \frac{2 x\sin(1/x) - \cos(1/x) + \cos x}{1 + (\tan x)^2} $}$
    nicht existiert.

    Skizze von $ \mbox{$\frac{x^2\sin(1/x)+\sin x}{\tan x}$}$.

    \includegraphics[width=10cm]{s1_1.eps}

    Skizze von $ \mbox{$\frac{(x^2\sin(1/x)+\sin x)'}{(\tan x)'}$}$.

    \includegraphics[width=10cm]{s1_2.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005