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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 879: Anwendungen des Satzes von Taylor, Ungleichungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Leite folgende Ungleichungen her.

  1. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq x^2/2\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ .
  2. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-x\vert\leq 2x^2\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq -1/2}$}$ .
  3. $ \mbox{$\vert\log(1+x)-(x-x^2/2)\vert\leq x^3/3\,$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}_{\geq 0}$}$ .
  4. $ \mbox{$\vert(1+x)^\alpha - \left(1+\alpha x+ {\alpha\choose 2}x^2\right)\vert\leq c\left\vert{\alpha\choose 3}\right\vert\vert x\vert^3\,$}$ für $ \mbox{$\alpha\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$x\in(-1/2, 1/2)$}$ , wobei $ \mbox{$c=\max\left\{(1/2)^{\alpha-3},\ (3/2)^{\alpha-3}\right\}$}$ .

  1. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$\log(1+x)$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=1$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \log(1+x) &=& \log(1+0) + \frac{1}{1+... ...rac{x^2}{2} \vspace*{1mm}\\ &=& x - \frac{x^2}{2(1+\xi)^2} \; . \end{array}$}$
    Wegen $ \mbox{$x\geq 0$}$ ist $ \mbox{$\xi\geq 0$}$, also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- x\vert\leq x^2/2 \; . $}$

  2. Hier ist $ \mbox{$x\geq -1/2$}$, also auch $ \mbox{$\xi\geq -1/2$}$ und $ \mbox{$(1+\xi)^2\geq 1/4$}$. Daraus folgt mit dem Ansatz aus (1)
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- x\vert\leq 2x^2 \; . $}$

  3. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$\log(1+x)$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=2$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \log(1+x) &=& \log(1+0) + \frac{1}{1+... ...space*{1mm}\\ &=& x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(1+\xi)^3} \; . \end{array}$}$
    Wegen $ \mbox{$x\geq 0$}$ ist $ \mbox{$\xi\geq 0$}$, also gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\log(1+x)- (x-x^2/2)\vert\leq x^3/3 \; . $}$

  4. Die Taylorentwicklung von $ \mbox{$(1+x)^\alpha$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=2$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (1+x)^\alpha &=& (1+0)^\alpha + \alph... ...{\alpha\choose 2}x^2 +{\alpha\choose 3} (1+\xi)^{\alpha-3}x^3\\ \end{array}$}$
    Im Falle $ \mbox{$\alpha<3$}$ ist $ \mbox{$\vert 1+\xi\vert^{\alpha-3}\leq (1/2)^{\alpha-3}=c$}$.

    Im Falle $ \mbox{$\alpha\geq 3$}$ ist $ \mbox{$\vert 1+\xi\vert^{\alpha-3} \leq (3/2)^{\alpha-3}=c$}$.

    Also folgt

    $ \mbox{$\displaystyle \left\vert(1+x)^\alpha - \left(1+\alpha x+ {\alpha\choos... ...t\vert \;\leq\; c\left\vert{\alpha\choose 3}\right\vert \vert x\vert^3 \; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 17. 12. 2007