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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 883: Bestimmtes Integral einer rationalen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Berechne

$ \mbox{$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^5 - 6x^4 + 11x^3 - 11x^2 + 18x + 4}{x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 24 x + 36}\,{\mbox{d}}x\; . $}$

Wir erhalten

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} I \; :=\; \displaystyle\int _0^1 {\di... ...(x-3)^2(x + 2\mathrm{i})(x - 2\mathrm{i})}}\,{\mbox{d}}x\; . \\ \end{array}$}$

Wir setzen an

$ \mbox{$\displaystyle \frac{2x^3 - 13x^2 + 18x - 4}{(x-3)^2(x + 2\mathrm{i})(x... ...w_{2,1}}{x+2\mathrm{i}}} + {\displaystyle\frac{w_{3,1}}{x-2\mathrm{i}}} \; . $}$

Die Zuhaltemethode liefert $ \mbox{$w_{1,2} = -1$}$, $ \mbox{$w_{2,1} = w_{3,1} = 1$}$. Subtraktion der bekannten Summanden liefert dann bereits $ \mbox{$0$}$ und somit $ \mbox{$w_{1,1} = 0$}$.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int _0^1 {\displaystyle... ...{2mm} \\ & = & \log(5/4) - {\displaystyle\frac{1}{6}} \; . \\ \end{array}$}$

Insgesamt wird also

$ \mbox{$\displaystyle I \; =\; {\displaystyle\frac{2}{3}} + \log(4/5)\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005