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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 888: Trennbare Differentialgleichungen erster Ordnung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Finde jeweils eine Lösung $ \mbox{$y$}$ der Gleichung $ \mbox{$y'=(\cos x)(y^2-1)$}$, welche der Anfangsbedingung genügt.

  1. $ \mbox{$y(0)=0$}$.
  2. $ \mbox{$y(0)=-1$}$.

Durch Trennung der Variablen ergibt sich

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int \cos x\,{\mbox{d}}x...
...2}}\log\left\vert{\displaystyle\frac{y-1}{y+1}}\right\vert + c_1
\end{array}$}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c_1$}$. Also gilt
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
1-{\displaystyle\frac{2}{y+1}}
&=& {\displaystyle\frac{y-1}{y+1}} \vspace*{2mm}\\
&=& c\,e^{2\sin x}
\end{array}$}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c$}$. Aufgelöst nach $ \mbox{$y$}$ erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle
y \;=\; {\displaystyle\frac{2}{1-c\,e^{2\sin x}}}-1 \;.
$}$

Weitere Lösungen der Differentialgleichung ergeben sich aus den Nullstellen der Funktion $ \mbox{$g(y)=y^2-1$}$, d.h. wir erhalten noch die konstanten Lösungen $ \mbox{$y(x)=1$}$ und $ \mbox{$y(x)=-1$}$; sie entsprechen den Werten $ \mbox{$c=0$}$ bzw. sozusagen $ \mbox{$c=\infty$}$.

Das Richtungsfeld dieser Gleichung hat folgende Form.

\includegraphics[width=10cm]{p1_dfield.eps}

  1. Setzt man die Bedingung $ \mbox{$y(0)=0$}$ in die allgemeine Lösung ein, so ergibt sich $ \mbox{$c=-1$}$ und daher
    $ \mbox{$\displaystyle
y \;=\; {\displaystyle\frac{2}{1+e^{2\sin x}}}-1\;.
$}$

  2. Die Bedingung $ \mbox{$y(0)=-1$}$ ist nur erfüllt für die konstante Lösung $ \mbox{$y(x)=-1$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005