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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 890: Quasi-Bernoullische Differentialgleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

(1)
Forme die Gleichung durch eine Substitution in eine Riccatische Gleichung um.

(2)
Löse die Gleichung $ \mbox{$y'=-2y^{3/2}+{\displaystyle\frac{y}{x}}-{\displaystyle\frac{y^{1/2}}{x^2}}$}$.

(1)
Wie bei der Bernoullischen Gleichung substituiere man $ \mbox{$u=y^{1-\alpha}$}$. Dies führt zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} u' &=& (1-\alpha)y^{-\alpha}y'\vspace... ...ha}+c(x))\vspace*{2mm}\\ &=& (1-\alpha)(a(x)u^2+b(x)u+c(x)) \;. \end{array}$}$
Dies ist eine Riccatische Gleichung.

(2)
Man wende (1) an mit $ \mbox{$\alpha=1/2$}$. Also führt die Substitution $ \mbox{$u=y^{1-\alpha}=y^{1/2}$}$ auf die Riccatische Gleichung
$ \mbox{$\displaystyle u' \;=\; {\displaystyle\frac{1}{2}}\left(-2u^2+{\displaystyle\frac{u}{x}}-{\displaystyle\frac{1}{x^2}}\right) \;. $}$
Diese hat $ \mbox{$u=1/x$}$ als partikuläre Lösung. Die allgemeine Lösung ist also von der Form
$ \mbox{$\displaystyle u \;=\; {\displaystyle\frac{1}{x}}+{\displaystyle\frac{1}{v}} \;, $}$
wobei sich $ \mbox{$v$}$ berechnet mittels
$ \mbox{$\displaystyle v' \;=\; {\displaystyle\frac{3}{2x}}v+1 \;. $}$
Die homogene Gleichung hat die allgemeine Lösung $ \mbox{$v=cx^{3/2}$}$. Die inhomogene Gleichung findet man durch Variation der Konstanten, d.h. mit dem Ansatz $ \mbox{$v=c(x)x^{3/2}$}$. Dies führt auf
$ \mbox{$\displaystyle c' \;=\; x^{-3/2}\;, $}$
und somit auf
$ \mbox{$\displaystyle c \;=\; -2x^{-1/2} \;. $}$
Damit ist die allgemeine Lösung für $ \mbox{$v$}$ gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle v \;=\; Cx^{3/2}-2x \;, $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C\in\mathbb{R}$}$, und die allgemeine Lösung für $ \mbox{$u$}$ ist also
$ \mbox{$\displaystyle u \;=\; {\displaystyle\frac{1}{x}} + {\displaystyle\frac{1}{Cx^{3/2}-2x}} \;. $}$
Letztlich ergibt sich die allgemeine Lösung für $ \mbox{$y$}$ als
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y &=& \left({\displaystyle\frac{1}{x}... ...{1}{x^2}}\left(1+{\displaystyle\frac{1}{Cx^{1/2}-2}}\right)^2 \;. \end{array}$}$
Für ein gewähltes $ \mbox{$C$}$ ist diese Lösung gültig auf den Intervallen, auf denen $ \mbox{$u>0$}$ ist.

Ist zum Beispiel $ \mbox{$C=2$}$ gewählt, so ergibt sich für $ \mbox{$u$}$ folgende Lösung.

\includegraphics[width=10cm]{s1_u.eps}

Für $ \mbox{$x\in(0,1/4)\cup(1,\infty)$}$ ist $ \mbox{$y=u^2$}$ eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung.

\includegraphics[width=10cm]{s1_valid_y.eps}

Für $ \mbox{$x\in(1/4,1)$}$ ist $ \mbox{$y=u^2$}$ hingegen eine Lösung der Gleichung $ \mbox{$y'=2y^{3/2}+{\displaystyle\frac{y}{x}}+{\displaystyle\frac{y^{1/2}}{x^2}}$}$.

\includegraphics[width=10cm]{s1_invalid_y.eps}

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005