Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 891: Zentrische Differentialgleichung

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 891: Zentrische Differentialgleichung

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Finde die allgemeine Lösung der Gleichung $\mbox{$xy'=y(1+\log y-\log x)$}$ .

Die Gleichung läßt sich umformen zu

$\mbox{$\displaystyle y' \;=\; {\displaystyle\frac{y}{x}}\left(1+\log\left({\displaystyle\frac{y}{x}}\right)\right) \;. $}$

Die Substitution $\mbox{$u=y/x$}$ führt auf die Gleichung

$\mbox{$\displaystyle u' \;=\; {\displaystyle\frac{u(1+\log u)-u}{x}} \;=\; {\displaystyle\frac{u\log u}{x}} \;. $}$

Dies ist eine trennbare Gleichung. Es ergibt sich aus

$\mbox{$\displaystyle \displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{u\log u}}\,{\mbox{d}}u \;=\; \displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{x}}\,{\mbox{d}}x \;, $}$

daß

$\mbox{$\displaystyle \log\log u \;=\; \log x+c $}$

mit einer Konstanten $\mbox{$c\in\mathbb{R}$}$ , und daher

$\mbox{$\displaystyle u \;=\; \exp(Cx) $}$

mit einer Konstanten $\mbox{$C\in\mathbb{R}$}$ , und schließlich

$\mbox{$\displaystyle y \;=\; x\exp(Cx) \;. $}$

Das Richtungsfeld und die Lösung durch den Punkt $\mbox{$(1,0.5)$}$ .

$\includegraphics[width=10cm]{s2_homogen.eps}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

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automatisch erstellt am 7. 6. 2005