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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 893: Anfangswertproblem der Besselschen Differentialgleichung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Finde eine Potenzreihe um $ \mbox{$x_0 = 0$}$, die der Besselschen Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle
x^2 y'' + x y' + (x^2 - m^2) y \; =\; 0
$}$
und der Anfangsbedingung $ \mbox{$y^{(m)}(0) = y^{(m)}_0\in\mathbb{R}$}$ genügt, wobei $ \mbox{$m\geq 2$}$ ganz.

Mit dem Ansatz $ \mbox{$y = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$}$ erhält man die Bedingung

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
0
& = & x^2 y'' + x y' + (x^2 - m^2)...
...splaystly\sum_{n = 2}^{\infty} ((n^2-m^2) a_n + a_{n-2}) x^n \; .
\end{array}$}$
Koeffizientenvergleich liefert
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
a_0 &=& 0\vspace*{2mm}\\
a_1 &=& 0\vspace*{2mm}\\
(n^2-m^2)a_n &=& -a_{n-2}
\end{array}$}$
für alle $ \mbox{$n\geq 2$}$. Daraus ergibt sich $ \mbox{$a_n=0$}$ für $ \mbox{$n<m$}$. Für $ \mbox{$n>m$}$ kann man die Gleichung umformen zu
$ \mbox{$\displaystyle
a_n \;=\; -\frac{a_{n-2}}{n^2-m^2} \;.
$}$
Dies liefert $ \mbox{$a_{m+2k+1}=0$}$ für alle $ \mbox{$k\geq 0$}$, und
$ \mbox{$\displaystyle
a_{m+2k} \;=\; -\frac{a_{m+2(k-1)}}{4k(m+k)} \;.
$}$
für alle $ \mbox{$k\geq 1$}$. Diese Rekursionsgleichung führt zu
$ \mbox{$\displaystyle
a_{m+2k} \;=\; \frac{(-1)^k a_m m!}{4^k k! (m+k)!}  
$}$
für alle $ \mbox{$k\geq 0$}$. Unter Beachtung von $ \mbox{$a_m m!=y^{(m)}_0$}$ erhalten wir also
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
y
&=& \displaystly\sum_{k=0}^{\infty}...
...{\infty} {\displaystyle\frac{(-1)^k}{4^k k! (m+k)!}}\, x^{2k} \;.
\end{array}$}$

Für $ \mbox{$y^{(m)}_0=2^{-m}$}$ spricht man von der $ \mbox{$m$}$-ten Besselfunktion (1. Art) $ \mbox{$J_m(x)$}$.

Die Lösungen für $ \mbox{$y^{(m)}_0=1$}$ für $ \mbox{$m\in\{0,\ldots,4\}$}$ (von unten nach oben bei $ \mbox{$x=4$}$).

\includegraphics[width=10cm]{s2_bessel.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005