Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1121: Ordnungsrelation

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien die Zahlen $ a, b, c, d\in\mathbb{R}$. Zeigen Sie die beiden folgenden Aussagen:

  1. $ (a<b)\wedge(c<d) \Longrightarrow a+c < b+d$
  2. $ 0<a<b \Longrightarrow 0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$

In dieser Aufgabe benutzt man die grundlegenden Eigenschaften der Ordnungsrelation.

  1. $ a<b\ \wedge\ c<d\ \Longrightarrow\ a+c<b+d$

    $\displaystyle a<b$ $\displaystyle \Longrightarrow a+c<b+c$   (Monotonie der Addition) (1)
    $\displaystyle c<d$ $\displaystyle \Longrightarrow c+b<d+b$   (Monotonie der Addition) (2)

    Mit (1) und (2)$\displaystyle \quad a+c<b+c\ \wedge\ b+c<b+d\ \Longrightarrow a+c<b+d$   (Transitivität) (3)

    Damit ist $ a<b\ \wedge\ c<d\ \Longrightarrow\ a+c<b+d$ gezeigt.
  2. $ 0<a<b \Longrightarrow 0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$

    Aus $ 0<a<b$ folgt $ b>0$ und damit $ 0\cdot b=0<ab$ wegen der Monotonie der Multiplikation. Weil mit $ ab$ auch der Kehrwert $ \frac{1}{ab}$ positiv ist, folgt wiederum mit der Monotonie der Multiplikation

    $\displaystyle 0\cdot\frac{1}{ab}<a\cdot\frac{1}{ab}<b\cdot\frac{1}{ab} \iff 0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}.$    

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005