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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1126: wirkende Kräfte

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Ein spurgebundenes Fahrzeug (Eisenbahn, Transrapid, etc.) übt momentan eine Antriebskraft vom Betrag $ 4$ aus und bewegt sich dabei auf Schienen, die in Richtung $ \left(-\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$ verlegt sind. Zusätzlich wirkt auf das Fahrzeug die Windkraft $ \left(\frac{3}{4}\sqrt{2},\frac{5}{4}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)$ .
a)
Wie groß ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung?
b)
Wie groß ist die vom Wind erzeugte Querkraft auf die Schiene (die Kraft, die senkrecht zur Schiene in der horizontalen Ebene, die von $ (1,0,0)$ und $ (0,1,0)$ aufgespannt wird, wirkt)?

In dieser Aufgabe muss ein Vektor, nämlich der Vektor der Windkraft, in seine Anteile nach verschiedenen Richtungen zerlegt werden. Zunächst erhält man den Anteil in Fahrtrichtung, indem man den Vektor mit dem normierten Richtungsvektor der Fahrtrichtung skalar multipliziert:

$\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix}3\sqrt{2} \\ 5\sqrt{2}\\ 2\sqrt{3}\end{... ...matrix}-\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix} =\frac{1}{16}(-6+10+12)=1$    

Damit muss man also den normierten Richtungsvektor einmal zur Antriebskraft addieren, um die Gesamtkraft zu bekommen. Also ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung $ \frac{5}{4}(-\sqrt{2},\sqrt{2},2\sqrt{3})$. Der restliche Anteil wirkt senkrecht zur Fahrtrichtung, ist also Querkraft. Wir bekommen sie, indem wir den Fahrtrichtungsanteil von der Windkraft abziehen und erhalten für die Querkraft:

$\displaystyle \frac{1}{4}\begin{pmatrix}3\sqrt{2}\\ 5\sqrt{2}\\ 2\sqrt{3}\end{p... ... \\ 2\sqrt{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix}$    

Da dieser Rest schon in der geforderten Ebene liegt, sind wir fertig.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005