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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1127: Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchtens 2

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Im Vektorraum Pol $ _2 \mathbb{R}=\{\sum_{j=0}^2 c_j\,X^j\; \vert \; c_0,c_1,c_2\in\mathbb{R}\}$ aller reellen Polynome vom Grad höchstens $ 2$ bilden die folgenden Elemente eine Basis:

$\displaystyle p_1(X):=\frac12\,X^2-\frac12\,X \,,\quad p_2(X):=-X^2+1 \,,\quad p_3(X):=\frac12\,X^2+\frac12\,X \,. $

  1. Bestimmen Sie die Werte $ p_j(k)$ für alle $ j\in\{1,2,3\}$ und $ k\in\{-1,0,1\}$.
  2. Finden Sie $ f,g\in$Pol$ _2\mathbb{R}$ derart, dass gilt:

    $\displaystyle \begin{array}{lll} f(-1)=13, & f(0)=1234567, & f(1) = -22 , \\ g(-1)=0 , & g(0)=-12 , & g(1) = 1 . \end{array}$

    Hinweis: Setzen Sie $ f$ und $ g$ als Linearkombinationen von $ p_1,p_2,p_3$ an.
  3. Warum ist die Basis $ p_1,p_2,p_3$ hier besser als die Basis $ X^0,X^1,X^2$ ?
  4. Können Sie auch nachweisen, dass $ p_1,p_2,p_3$ eine Basis für Pol$ _2\mathbb{R}$ bildet?

  1. Die Werte von $ p_j(k)$ stehen in folgender Tabelle:
      $ j=1$ $ j=2$ $ j=3$
    $ k=-1$ $ 1$ 0 0
    $ k=0$ 0 $ 1$ 0
    $ k=1$ 0 0 $ 1$
  2. $ f(X)=13\,p_1(X)+1234567\,p_2(X)-22\,p_3(X)=-1234571,5\,X^2-17,5\,X+1234567$ und $ g(X)=-12\,p_2(X)+p_3(X)=\frac{25}{2}X^2+\frac{1}{2}X-12$.
  3. Die Basis $ p_1,p_2,p_3$ ist besser, weil sie dem Problem angepasst ist und damit die Rechnung erspart.
Der Raum ist dreidimensional, denn $ 1,X,X^2$ ist eine Basis. Daher reicht es zu zeigen, dass $ p_1,p_2,p_3$ linear unabhängig sind. Sei also $ \alpha_1p_1(X)+\alpha_2p_2(X)+\alpha_3p_3(X)=0$. Wir müssen zeigen, dass $ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ gilt. Diese Gleichheit muss für alle $ X$ gelten. Also setzen wir verschiedene Werte ein, sehr günstig sind $ -1$, 0, $ 1$. Damit erhalten wir jeweils $ \alpha_1=0$ bzw. $ \alpha_2=0$ bzw. $ \alpha_3=0$.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005