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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1123: Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir betrachten den komplexen Vektorraum $ \mathbb{C}^n$. Für die Vektoren $ v=(v_1,\ldots,v_n)\in\mathbb{C}^n$ und
$ w=(w_1,\ldots,w_n)\in\mathbb{C}^n$ sei

$\displaystyle \langle v,w\rangle :=\sum_{j=1}^n v_j\overline{w_j} $

definiert. Zeigen Sie, dass für alle $ u,v,w\in\mathbb{C}^n$ und alle $ \alpha\in\mathbb{C}$ gilt:
  1. $ \langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$
  2. $ \langle u,u\rangle \in\mathbb{R}^+_0$ und $ \langle u,u\rangle = 0 \Leftrightarrow u=0$
  3. $ \langle u,v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle$
  4. $ \alpha\langle u,v\rangle = \langle \alpha\, u,v\rangle = \langle u,\Bar{\alpha}\, v\rangle$

Hier ist es nötig, jeweils die Definition einzusetzen und die Ausdrücke dann umzuformen

  1. $ \langle u,v\rangle=\sum_{j=1}^n u_j\overline{v_j}= \sum_{j=1}^n\overline{\over... ..._j}v_j}= \overline{\sum_{j=1}^nv_J\overline{u_j}}=\overline{\langle v,u\rangle}$
  2. $ \langle u,u\rangle =\sum_{j=1}^n u_j\overline{u_j}\in\mathbb{R}^+_0$ weil jeder Summand $ u_j\overline{u_j}=\vert u_j\vert^2$ das Quadrat des Betrages einer komplexen Zahl ist. Die Summe kann auch nur dann 0 werden, wenn jeder einzelne der Summanden 0 ist (denn diese sind ja 0 oder positiv). Aber der Betrag einer komplexen Zahl ist nur dann 0, wenn die Zahl es auch ist.
  3. $ \langle u,v+w\rangle=\sum_{j=1}^n u_j(\overline{v_j+w_j})= \sum_{j=1}^n u_j\ov... ...ine{v_j}+\sum_{j=1}^n u_j\overline{w_j}= \langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$
  4. $ \alpha\langle u,v\rangle=\alpha\sum_{j=1}^n u_j\overline{v_j}= \sum_{j=1}^n (\alpha u_j)\overline{v_j}=\langle \alpha u,v\rangle$ und die zweite Gleichheit mit
    $ \alpha\langle u,v\rangle = \alpha\sum_{j=1}^nu_j\overline{v_j}= \sum_{j=1}^n u_j\overline{\overline{\alpha}v_j}=\langle u,\overline{\alpha}v\rangle$
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005