Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 929: Lineare Abhängigkeit und Basis

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

  1. $ v_1,v_3$ sind linear unabhängig.
  2. $ v_1,v_2,v_3$ sind linear unabhängig.
  3. $ v_1,v_2,v_5$ sind linear abhängig.
  4. $ v_1,v_2,v_3,v_4$ sind linear abhängig.
  5. Da $ v_1$ und $ v_3$ linear unabhängig sind, bilden Sie eine Basis ihres Aufspanns, daher hat $ \operatorname{span}(v_1,v_3)$ die Dimension $ 2$ und $ \{v_1,v_3\}$ ist eine Basis. Da $ v_1,\dots,v_4$ linear abhängig sind, hat der Aufspann $ \operatorname{span}(v_1,\dots,v_4)$ eine Dimension echt kleiner als $ 4$. Andererseits sind $ v_1,v_2,v_3$ linear unabhängig und damit eine Basis von $ \operatorname{span}(v_1,v_2,v_3)$. Da nun $ \operatorname{span}(v_1,v_2,v_3)$ in $ \operatorname{span}(v_1,\dots,v_4)$ enthalten ist und die Dimension $ 3$ hat, muss auch $ \operatorname{span}(v_1,\dots,v_4)$ die Dimension $ 3$ haben. Damit ist $ \{v_1,v_2,v_3\}$ eine Basis von $ \operatorname{span}(v_1,\dots,v_4)$.

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005