Durch direktes Nachrechnen kann man zeigen, dass die drei Vektoren
jeweils normiert und orthogonal zueinander sind, d.h. ein
Orthonormalsystem bilden. Die lineare Unabhängigkeit folgt damit
automatisch.
Und natürlich bilden die drei Vektoren keine Basis, denn jede
Basis im
muss vier Vektoren enthalten.
Eine andere Möglichkeit zu zeigen, dass die drei Vektoren ein
Orthonormalsystem bilden, ist die Untersuchung der allgemeinen Formeln. Der
Schritt von
nach
ist einfach die Normierung des Vektors
. Daher sind alle Vektoren nach Abschluss des Verfahrens normiert. Wir
müssen also nur noch zeigen, dass sie auch orthogonal sind:
Da
nur ein skalares Vielfaches von
ist, sind auch
und
orthogonal. Die anderen beiden Orthogonalitäten bekommt man mit einer
ähnlichen, allerdings etwas komplizierteren Rechnung: