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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1130: Lineare Abhängigkeit sowie Orthogonalität in einem K-Vektorraum

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Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren $ v$ und $ w$ eines $ \mathbb{K}$-Vektorraumes $ V$.

  1. Für welche Werte von $ \alpha\in\mathbb{K}$ sind die Vektoren $ v$, $ v+\alpha w$ linear abhängig, für welche sind sie linear unabhängig?
  2. Bestimmen Sie $ \alpha\in\mathbb{K}$ so, dass die Vektoren $ v+\alpha w$, $ w$ orthogonal zueinander stehen.

  1. Hier müssen wir auf die Definition von ,,linear unabhängig`` zurückgehen. Wir setzen an $ \beta v+\gamma (v+\alpha w)=0$. Die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig, falls $ \beta=\gamma=0$ die einzige Lösung für diese Gleichung ist. Durch Umklammern erhält die Gleichung die folgende Gestalt: $ (\beta +\gamma)v+\gamma\alpha w=0$. Weil nun $ v$ und $ w$ linear unabhängig sind, ist $ \beta+\gamma=0,\quad \gamma\alpha=0$ die einzige Lösung.

    Nun müssen wir zwei Fälle unterscheiden. Falls $ \alpha=0$ gilt, dann kann $ \gamma$ beliebig (und ungleich 0) gewählt werden. Mit $ \beta=-\gamma$ haben wir dann eine nicht-triviale Lösung der obigen Gleichung. Damit sind $ v$ und $ v+\alpha w$ linear abhängig.

    Falls $ \alpha\neq 0$ gilt, dann folgt $ \gamma=0$ und $ \beta=-\gamma=0$. Damit sind $ v$ und $ v+\alpha w$ linear unabhängig.

  2. Orthogonalität bestimmt man mit dem Skalarprodukt, also ist $ w$ orthogonal zu $ v+\alpha w$ genau dann, falls $ < w,v+\alpha w>=0$. Mit den Regeln für Skalarprodukte lässt sich das umschreiben zu $ < w,v > +\alpha < w,w> =0$. Weil nun $ v$ und $ w$ linear unabhängig sind, kann $ w$ nicht der Nullvektor sein. Damit dürfen wir durch $ < w,w>$ teilen und erhalten:

    $\displaystyle \alpha=-\frac{< w,v>}{< w,w >} \,.$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005