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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 931:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Weil die Abbildung auf einer Basis von $ \mathbb{R}^2$ bestimmt ist, kann man sie nur auf eine Weise zu einer Abbildung von $ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ machen. Wir wollen allgemein angeben, was $ \alpha(x,y)$ ist. Dazu berechnen wir zunächst $ \alpha(1,0)$ und $ \alpha(0,1)$. Dann bekommen wir, weil $ \alpha$ eine lineare Abbildung ist, dass $ \alpha(x,y)=x\cdot\alpha(1,0)+y\cdot\alpha(0,1)$.

Es ist wegen Linearität

$\displaystyle \alpha(1,0)$ $\displaystyle =\alpha\left(1,-\frac13\right)+\alpha\left(0,\frac13\right)=\left(\frac13,\frac13,-4\right)+\left(\frac23,-\frac13,9\right)=\left(1,0,5\right)$    
$\displaystyle \alpha\left(0,1\right)$ $\displaystyle =3\cdot\alpha\left(0,\frac13\right)=3\cdot \left(\frac23,-\frac13,9\right)=\left(2,-1,27\right)$    

Damit folgt insgesamt $ \alpha(x,y)=(x+2y,-y,5x+27y)$. Daher ist $ \alpha(1,0)=(1,0,5)$ und der Fall, dass $ \alpha(1,0)$ gleich $ \left(\frac13,-7,42\right)$ ist unmöglich.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19. 12. 2005