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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1135: Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten

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Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten

$\displaystyle \mathbb{R}[X]=\{\alpha_n X^n+\alpha_{n-1} X^{n-1}+\ldots+\alpha_1 X+\alpha_0\; \vert \; n\in\mathbb{N}_0$    und $\displaystyle \alpha_n,\ldots,\alpha_0\in\mathbb{R} \}$

die Axiome für einen reellen Vektorraum erfüllt.

Um überhaupt von einem Vektorraum reden zu können, muss man sagen, was Addition und Skalarmultiplikation sein sollen:

\begin{multline*} (a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0)+ (b_mX^m+b_{m-1}X^{m-1}... ... (a_l+b_l)X^l+(a_{l-1}+b_{l-1}X^{l-1}+\dots+(a_1+b_1)X+(a_0+b_0) \end{multline*}

wobei $ l=\max\{n,m\}$ und die noch nicht definierten $ a_j$ bzw. $ b_j$ als 0 definiert werden.

\begin{multline*} \gamma\cdot(a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0):= (\gamma a_n X^n+\gamma a_{n-1}X^{n-1}+\dots+\gamma a_1X+\gamma a_0). \end{multline*}

Zunächst zeigt man, dass $ \mathbb{R}[X]$ mit $ +$ eine abelsche Gruppe bildet. Assoziativität und Kommutativität erhält man dabei aus den gleichnamigen Eigenschaften der reellen Zahlen. Das Neutralelement der Addition ist das Polynom 0. Das inverse Element zu einem Polynom $ (a_nX^n+\dots+a_1X+a_0)$ ist das Polynom $ (-a_nX^n-\dots-a_1X-a_0)$.

Anschliessend daran müssen die Axiome des Vektorraums nachgerechnet werden. Für das erste gilt:

$\displaystyle (\gamma+\eta)$ $\displaystyle (a_nX^n+\dots+a_1X+a_0)$    
  $\displaystyle =((\gamma+\eta)a_nX^n+\dots+(\gamma+\eta)a_1X+(\gamma+\eta)a_0)$   Def. Skalarmultiplikation    
  $\displaystyle =((\gamma a_n+\eta a_n)X^n+\dots+(\gamma a_1+\eta a_1)X+(\gamma a_0+\eta a_0))$   Distributivität in $ \mathbb{R}$    
  $\displaystyle =(\gamma a_nX^n+\dots \gamma a_1X+\gamma a_0)+ (\eta a_nX^n+\dots+\eta a_1X+\eta a_0)$   Def. Addition    
  $\displaystyle =\gamma(a_nX^n+\dots+a_1X+a_0)+\eta(a_nX^n+\dots+a_1X+a_0)$   Def. Skalarmult.    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 20. 12. 2005