Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1151: Matrixdarstellungen, lineare Abbildungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es sei $ E$ die Standardbasis von $ \mathbb{R}^4$. Gegeben sind die linearen Abbildungen $ f\colon \mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$ und $ g\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^4$ durch $ f(b_1)=(1,0,-1)$, $ f(b_2)=(0,1,0)$, $ f(b_3)=(2,-1,2)$, $ f(b_4)=(0,2,0)$ und $ g(c_1)=(0,-1,0,0)$, $ g(c_2)=(1,0,1,0)$, $ g(c_3)=(2,-3,0,-1)$ für die Basen

$ B\colon b_1=(1,0,-1,0),b_2=(0,1,0,-1),b_3=(1,0,1,0),b_4=(0,2,0,1)$

und $ C\colon c_1=(0,1,0), c_2=(1,0,-1),c_3=(2,-1,2)$.

  1. Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen $ _E (g\circ f)_E$.
  2. Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen $ _B (g\circ f)_B$.
  3. Bestimmen Sie $ \operatorname{Kern} (g\circ f)$.

Zunächst bestimmen wir einige wichtige Hilfsmatrizen, die nicht direkt gefragt sind:

$\displaystyle _E{f}_B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 ... ...begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$    

$\displaystyle _B\operatorname{id}_E=( _E\operatorname{id}_B)^{-1}=\begin{pmatri... ... & 1 & \frac14 \\ \frac12 & 0 & -\frac12 \\ \frac14 & 0 & \frac14 \end{pmatrix}$    

  $\displaystyle _E(g\circ f)_B=$  $\displaystyle _E{g}_C\ $     $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_E\ $     $\displaystyle _E{f}_B= \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$    

  1.   $\displaystyle _E(g\circ f)_E=$  $\displaystyle _E(g\circ f)_B\ $     $\displaystyle _B\operatorname{id}_E= \begin{pmatrix}\frac32 & 0 & \frac12 & 0 \... ... & 0 \\ \frac12 & 0 & -\frac12 & 0 \\ -\frac12 & 0 & -\frac12 & 0 \end{pmatrix}$    

  2.   $\displaystyle _B(g\circ f)_B=$  $\displaystyle _B\operatorname{id}_E\ $     $\displaystyle _E(g\circ f)_B= \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac13 & -\... ...& -\frac23 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\frac13 & -\frac43 & -\frac23 \end{pmatrix}$    

  3. Den Kern berechnen wir mit Hilfe der Matrix   $ _E(g\circ f)_E$. In ihr können wir den Kern direkt ablesen (oder leicht berechnen) als

    $\displaystyle \operatorname{Kern}(g\circ f)=\Big{\{}v\in\mathbb{R}^4 \Big\vert$  $\displaystyle _Ev=\lambda\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad \lambda\in\mathbb{R}\Big{\}}$    

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 27. 12. 2005