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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1154: Darstellungsmatrix, Determinante, lineare Abbildung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir versehen $ \operatorname{Pol}_2\mathbb{R}$ mit der Basis $ B\colon X^2, X-1, X+1$, der Basis $ C\colon X^2,X^1,X^0$, der Basis $ D\colon \frac12\,X^2-\frac12\,X,-X^2+1, \frac12\,X^2+\frac12\,X$ und der Basis $ E\colon X^2+X+1, X+1, 1$.

Es ist weiter die Abbildung $ s\colon \operatorname{Pol}_2\mathbb{R}\rightarrow \operatorname{Pol}_2\mathbb{R}\colon aX^2+bX+c\mapsto bX^2+cX+a$ gegeben.

  1. Zeigen Sie, dass $ s$ eine lineare Abbildung ist.
  2. Berechnen Sie $ \operatorname{det}(_Bs_B)$, $ \operatorname{det}(_Cs_C)$, $ \operatorname{det}(_Ds_D)$, $ \operatorname{det}(_Es_E)$.
  3. Berechnen Sie $ \operatorname{det}(_Bs_E)$, $ \operatorname{det}(_Cs_D)$.

  1. $ s$ ist eine lineare Abbildung denn $ s$ hat die Darstellungsmatrix

      $\displaystyle _Cs_C=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$    

  2. Sei $ F$ irgendeine Basis von $ \operatorname{Pol}_2\mathbb{R}$. Dann ist

    $\displaystyle \operatorname{det}($  $\displaystyle _Fs_F)$ $\displaystyle = \operatorname{det}($  $\displaystyle _F{\operatorname{id}}_C\ $     $\displaystyle _Cs_C\ $     $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_F) =\operatorname{det}($  $\displaystyle _F{\operatorname{id}}_C)\operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C)\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_F)$    
      $\displaystyle =(\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_F))^{-1}\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_F)\operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C) =\operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C)$    

    Daher sind alle Determinanten im Teil (b) gleich und es genügt $ \operatorname{det}($  $ _Cs_C)=1$ zu berechnen.
  3. Weil das Aufstellen der Matrizen sehr aufwendig ist, nützen wir die Rechenregeln für Determinanten um uns das Leben einfacher zu machen. Zunächst brauchen wir drei einfach aufzustellende Basiswechselmatrizen und deren Determinanten:

    $\displaystyle \operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_B)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}=2\qquad \operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_D)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}\frac{1... ...frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac12 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}=-\frac{1}{2}$    
    $\displaystyle \operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_E)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}1 &0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}=1$    

    Damit haben wir:

    $\displaystyle \operatorname{det}($  $\displaystyle _Bs_E)$ $\displaystyle = \operatorname{det}($  $\displaystyle _B{\operatorname{id}}_C\ $     $\displaystyle _Cs_C\ $     $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_E) =(\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_B))^{-1}\operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C)\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_E)=\frac{1}{2}$    
    $\displaystyle \operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_D)$ $\displaystyle = \operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C\ $     $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_D) =\operatorname{det}($  $\displaystyle _Cs_C)\operatorname{det}($  $\displaystyle _C{\operatorname{id}}_D)=-\frac{1}{2}$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 29. 12. 2005