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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1177: Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sind die Vektoren

$ v_1=(1,1,0,0)$,     $ v_2=(-1,0,1,0)$,     $ v_3=(1,0,0,1)$,     $ v_4=(1,0,1,1)$.

a)
Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis $ F\colon f_1, f_2, f_3, f_4$ derart, dass $ \operatorname{Span}(f_1)=\operatorname{Span}(v_1)$, $ \operatorname{Span}(f_1, f_2)=\operatorname{Span}(v_1, v_2)$, $ \operatorname{Span}(f_1, f_2, f_3)=\operatorname{Span}(v_1, v_2, v_3)$ und $ \operatorname{Span}(f_1, f_2, f_3, f_4)=\operatorname{Span}(v_1, v_2, v_3, v_4)$.
b)
Zeigen Sie, dass die Matrix $ A=\big(\, _Ef_1 \, _Ef_2 \, _Ef_3 \, _Ef_4 \big)$ orthogonal ist.

  1. Nach dem Schmidtschen Orthonormierungsverfahren ergibt sich folgende Lösung für die Basis:

    $\displaystyle f_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\... ... 3\end{pmatrix},\ f_4=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{pmatrix},\ $    

  2. Die Matrix ist orthogonal, weil ihre Spalten normiert und paarweise orthogonal zueinander stehen.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 13.  1. 2006