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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1183: Eigenschaften des reellen Skalarproduktes

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Wir betrachten einen reellen Vektorraum $ V$ mit Skalarprodukt. Zeigen Sie, dass für alle $ v,w\in V$ gilt:

  1. $ \vert v+w\vert^2=\vert v\vert^2+2\langle v,w\rangle+\vert w\vert^2$
  2. $ \vert v-w\vert^2=\vert v\vert^2-2\langle v,w\rangle+\vert w\vert^2$
  3. $ \vert v\vert^2-\vert w\vert^2=\langle v+w,v-w\rangle$

In dieser Aufgabe benutzen wir die einfachen Eigenschaften des Skalarprodukts Exemplarisch wird Teil 1. vorgeführt.

$\displaystyle \vert v+w\vert^2$ $\displaystyle =\langle v+w,v+w\rangle = \langle v,v+w\rangle +\langle w,v+w\rangle$    
  $\displaystyle = \langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle+\langle w,v\rangle+\langle w,w\rangle+\langle w,w\rangle$    
  $\displaystyle =\vert v\vert^2+2\langle v,w\rangle+\vert w\vert^2$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 13.  1. 2006