Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1197: Nachweis von Affinitäten und uneigentlichen Bewegungen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}
1 & -2 & 2 \\
-2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{matrix}\right)
$

sowie die Vektoren $ s=(2,2,-2)$ und $ t=(1,-1,0)$. Damit werden die beiden affinen Abbildungen $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ und $ \tau\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+t$ definiert.

Zeigen Sie:

  1. $ \sigma$ und $ \tau$ sind Affinitäten.

  2. $ \sigma$ und $ \tau$ sind uneigentliche Bewegungen.

  1. $ \sigma$ und $ \tau$ sind laut Definition affine Abbildungen. Es reicht daher zu zeigen, dass sie auch bijektiv sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Matrix $ A$ invertierbar ist. Wegen $ \operatorname{det}(A)=-1$ ist dies der Fall.
  2. Hierzu müssen wir zeigen, dass $ A$ eine orthogonale Matrix mit Determinante $ \operatorname{det}(A)=-1$ ist. Also berechnen wir $ A^tA=E_3$ und sind fertig.
(Ackermann/Poppitz)

[Zurück zur Aufgabe]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006