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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1197: Nachweis von Affinitäten und uneigentlichen Bewegungen

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Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie die Vektoren $ s=(2,2,-2)$ und $ t=(1,-1,0)$. Damit werden die beiden affinen Abbildungen $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ und $ \tau\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+t$ definiert.

Zeigen Sie:

  1. $ \sigma$ und $ \tau$ sind Affinitäten.

  2. $ \sigma$ und $ \tau$ sind uneigentliche Bewegungen.

  1. $ \sigma$ und $ \tau$ sind laut Definition affine Abbildungen. Es reicht daher zu zeigen, dass sie auch bijektiv sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Matrix $ A$ invertierbar ist. Wegen $ \operatorname{det}(A)=-1$ ist dies der Fall.
  2. Hierzu müssen wir zeigen, dass $ A$ eine orthogonale Matrix mit Determinante $ \operatorname{det}(A)=-1$ ist. Also berechnen wir $ A^tA=E_3$ und sind fertig.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006