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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1198: Affine Abbildung einer Ebene und Aufstellen einer Geraden durch Punkt und Bildpunkt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  1. Gegeben ist die Ebene $ F=\Big{\{}v\in\mathbb{R}^3 \Big\vert \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)v=0\Big{\}}$ und die Matrix

    $\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

    sowie der Vektor $ t=(1,-1,0)$. Damit wird die affine Abbildung $ \tau\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+t$ definiert.

    Verifizieren Sie $ \tau(F)=F$.

  2. Bestimmen Sie für den Punkt $ P=(p_1,p_2,p_3)$ eine Gerade $ g$, die $ P$ und $ \tau(P)$ enthält.

    Zeigen Sie: die Gerade $ g$ ist genau dann parallel zu $ F$, wenn $ P\in F$.

  1. Bei jeder Gleichheit von Mengen müssen wir zwei Inklusionen zeigen. Wir starten mit $ \tau(F)\subseteq F$. Sei also $ v\in F$. Dann gilt

    $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,-1\right)\left(Av+t\right)$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,1,-1\right)\left(\frac13\begin{pmatri... ... 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}v+\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)$    
      $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\underbrace{\left(-1,-1,1\right)v}_{=0}+0=0$    

    Damit ist $ \tau(v)\in F$. Für die andere Richtung $ F\in\tau(F)$ müssen wir zeigen, dass $ \tau$ surjektiv auf $ F$ abbildet. Eine Möglichkeit ist die Umkehrabbildung $ \tau^{-1}$ zu nutzen und zu zeigen, dass $ \tau^{-1}(F)\subseteq F$. Dabei ist $ \tau^{-1} : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3: v\mapsto A^{-1}v+A^{-1}t$. Der restliche Beweis geht dann analog zu oben.
  2. Die Gerade durch $ P$ und $ \tau(P)$ ist genau dann parallel zu $ F$, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor $ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$ von $ F$ steht. Der Richtungsvektor der Geraden durch $ P$ und $ \tau(P)$ ist

    $\displaystyle \tau(P)-P$ $\displaystyle =A\vec{p}+t-\vec{p}=\frac13\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & ... ...n{pmatrix}1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix}$    
      $\displaystyle =\frac23\left(-p_1-p_2+p_3\right)\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ -1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1 \\ -1\\ 0\end{pmatrix}$    

    Das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Normalenvektor ist $ \frac{2}{\sqrt{3}}(-p_1-p_2+p_3)$ und daher nur dann Null, wenn $ p_1+p_2-p_3=0$. Dies bedeutet aber, dass $ P$ in der Ebene $ F$ liegt.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006