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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1200: Bestimmung eines Koordinatensystems mit Hilfe einer Fixpunktmenge

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie die Vektoren $ s=(2,2,-2)$ und $ t=(1,-1,0)$. Damit werden die beiden affinen Abbildungen $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ und $ \tau\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+t$ definiert. Es ist $ \mathrm{Fix}(\sigma)=\Big{\{} v \in \mathbb{R}^3 \Big\vert \sigma(v)=v\Big{\}}$.
  1. Wählen Sie einen Punkt $ U\in \mathrm{Fix}(\sigma)$ und finden Sie eine orthogonale Basis $ b_1,b_2,b_3$ so, dass $ U+b_1\in\mathrm{Fix}(\sigma)$ und $ U+b_2\in\mathrm{Fix}(\sigma)$. Damit ist ein Koordinatensystem $ \mathbb{U}=(U;b_1,b_2,b_3)$ gegeben.

  2. Bestimmen Sie die Koordinatentransformation $ \, _{\mathbb{U}}\kappa_{\mathbb{E}}$.

  3. Beschreiben Sie die Abbildungen $ \sigma, \tau$ und $ \sigma\circ\tau$ bezüglich des Koordinatensystems $ \mathbb{U}$.

  1. Zunächst müssen wir eine Basis mit den geforderten Eigenschaften finden. Wir starten mit $ U=(3,0,0)$. Als Vektor $ b_3$ bleibt uns nur der Normalenvektor der Ebene, also $ b_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$. Für $ b_1$ nehmen wir den Vektor $ b_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$, da dieser in $ \operatorname{Fix}(\sigma)$ liegt und ein Vielfaches von $ t$ ist, was den Teil (c) unten erleichtert. Den letzten Vektor berechnen wir mit Hilfe des Kreuzprodukts $ b_3\times b_1$ (nach normieren) als $ b_2=\frac1{\sqrt{6}}(-1,-1,-2)$, der in der Tat in $ \operatorname{Fix}(\sigma)$ liegt. Also ist

    $\displaystyle \mathbb{U}=\left(\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}; \frac1{... ... \end{pmatrix}, \frac1{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right)$    

  2. Sei $ B$ die Matrix mit den Spalten $ b_1,\dots,b_3$. Dann ist die Koordinatentransformation

      $\displaystyle _{\mathbb{U}}\kappa_{\mathbb{E}}(v)=B^{-1}\cdot (v-U)= \begin{pma... ...atrix}\frac3{\sqrt{2}} \\ -\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \frac3{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$    

  3. Weil das Koordinatensystem $ \mathbb{U}$ dem Problem angepasst ist, sind $ \sigma$ und $ \tau$ darin einfach zu beschreiben. Wenden wir uns zunächst $ \sigma$ zu. $ U$ liegt in der Fixpunktebene $ \operatorname{Fix}(\sigma)$ und $ b_1$ und $ b_2$ spannen diese Fixpunktebene auf. Daher werden die ersten beiden Koordinaten nicht verändert denn $ \sigma(U)=U$ und $ \sigma(U+b_1)=U+b_1,\ \sigma(U+b_2)=U+b_2$. Auch sehen wir daran, dass der Translationsanteil 0 ist. Den Vektor $ U+b_3$ stellen wir in $ \mathbb{E}$-Koordinaten dar, bilden ihn ab und schauen, was rauskommt:

    $\displaystyle \sigma(U+b_3)=\frac13\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2... ...x}1\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\right)+ \begin{pmatrix}2 \\ 2\\ -2\end{pmatrix}=U-b_3$    

    Damit ergibt sich die Abbildung im $ \mathbb{U}$-Koordinatensystem als

      $\displaystyle _{\mathbb{U}}\sigma_\mathbb{U} :$     $\displaystyle _{\mathbb{U}}v\mapsto \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$  $\displaystyle _{\mathbb{U}}v$    

    $ \sigma$ und $ \tau$ haben den selben linearen Anteil, also müssen wir für die Darstellung von $ \tau$ nur noch den Translationsanteil berechnen. Dies können wir tun, indem wir den Punkt $ U$ mit   $ _{\mathbb{E}}\tau$ abbilden und das Ergebnis anschliessend mittels   $ _{\mathbb{U}}\kappa_{\mathbb{E}}$ zu transformieren. Es ist

      $\displaystyle _{\mathbb{E}}(\tau(U))=\begin{pmatrix}2 \\ -3\\ 2\end{pmatrix}$   und damit     $\displaystyle _{\mathbb{U}}\kappa_{\mathbb{E}}($  $\displaystyle _{\mathbb{E}}(\tau(U)))= \begin{pmatrix}\sqrt{2} \\ 0 \\ -2\sqrt{3}\end{pmatrix}$    

    Damit erhalten wir insgesamt für   $ _{\mathbb{U}}\tau_\mathbb{U}$:

      $\displaystyle _{\mathbb{U}}\tau_\mathbb{U} :$     $\displaystyle _{\mathbb{U}}v\mapsto \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-1\end{pmatrix}\cdot$     $\displaystyle _{\mathbb{U}}v+ \begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ -2\sqrt{3} \end{pmatrix}$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006