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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1211: Zusammenhang zwischen den Eigenwerten zu Eigenvektoren einer Matrix und den Eigenwerten zu Eigenvektoren einer Potenz dieser Matrix

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Es ist $ A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ eine Matrix und $ n$ eine natürliche Zahl.
  1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$ zum Eigenvektor $ v$, dann ist $ \lambda^n$ ein Eigenwert von $ A^n$ zum Eigenvektor $ v$.
  2. Widerlegen Sie die Behauptung: Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A^n$, dann ist $ \sqrt[n]{\lambda}$ ein Eigenwert von $ A$. Hinweis: In ,,kleinen`` Räumen lassen sich für kleine $ n$ schöne Gegenbeispiele finden.

  1. Induktionsanfang bei $ n=1$: wir wissen dass $ A^1v=Av=\lambda v$, denn $ v$ ist ein Eigenvektor von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$.

    Induktionshypothese: es gilt $ A^{n-1}v=\lambda^{n-1}v$.

    Induktionsschluss: es ist $ A^nv=A^{n-1}(Av)=A^{n-1}(\lambda v)=\lambda A^{n-1}v=\lambda\cdot\lambda^{n-1}v=\lambda^nv$. Der vorletzte Schluss benutzt die Induktionshypothese.

  2. Die Matrix $ C$ in $ \mathbb{R}^{2\times 2}$ mit $ C=\begin{pmatrix}3 & 2 \\ -5 & -3\end{pmatrix}$ ist ein Gegenbeispiel, denn $ C^2$ hat den Eigenwert $ -1$, aber $ C$ hat keine reellen Eigenwerte.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 6.  2. 2006