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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1213: Berechnung des linearen Anteils und des Translationsanteils einer affinen Abbildung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es ist das Koordinatensystem $ \mathbb{O}=(U;o_1,\ldots,o_n)$ des affinen Raumes $ \mathbb{K}^n$ gegeben. Es bezeichnet $ \mathbb{E}$ wie üblich das Standardkoordinatensystem. Die affine Abbildung $ \alpha$ ist gegeben durch $ _{\mathbb{O}}\big(\alpha(X)\big)=B\cdot \;_{\mathbb{O}}{X}+s$.

Leiten Sie eine Formel her für den linearen Anteil und den Translationsanteil von $ \alpha$ bezüglich $ \mathbb{E}$.

Zur Umrechnung der Koordinaten brauchen wir die Koordinatentransformation   $ _\mathbb{E}{\kappa}_\mathbb{O}$. Diese läßt sich mit Hilfe der Matrix $ A$, welche aus den Spalten $ o_1,\dots,o_n$ besteht und des Punktes $ U$ als   $ _\mathbb{E}{\kappa}_\mathbb{O}($  $ _\mathbb{O}Y)=AY+U$ beschreiben. Die umgekehrte Transformation ist dann   $ _\mathbb{O}{\kappa}_\mathbb{E}($  $ _\mathbb{E}Y)=A^{-1}Y-A^{-1}U$.

Damit erhalten wir:

  $\displaystyle _\mathbb{E}{\kappa}_\mathbb{O}($  $\displaystyle _\mathbb{O}{\alpha(X)})$ $\displaystyle = A B\ $     $\displaystyle _\mathbb{O}X+ A s + U$    
  $\displaystyle = A B\ $     $\displaystyle _\mathbb{O}{\kappa}_\mathbb{E} ($  $\displaystyle _\mathbb{E}X)+A s+U$    
  $\displaystyle =A B\ ($  $\displaystyle _\mathbb{E}{\kappa}_\mathbb{O})^{-1} ($  $\displaystyle _\mathbb{E}X)+A s+U$    
  $\displaystyle =A B (A^{-1}\ $     $\displaystyle _\mathbb{E}X - A^{-1}U)+A s + U$    
  $\displaystyle =ABA^{-1}$  $\displaystyle _\mathbb{E}X - ABA^{-1} U +As + U$    

Der lineare Anteil ist also $ A B A^{-1}$ und der Translationsanteil ist $ -ABA^{-1}U+ A s+ U$.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 6.  2. 2006