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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1215: Beweise zu Eigenwerten und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix

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  1. Es sei $ A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ eine Matrix mit den Eigenwerten $ \lambda_1,\ldots,\lambda_k$. Weiter sei $ v$ ein Vektor, der sich folgendermaßen zerlegen lässt: $ v=\sum^{k}_{j=1}v_j$, wobei $ v_j\in V(\lambda_j)$ für $ i\in\{1,\ldots, k\}$.

    Zeigen Sie: $ A\,v=\sum^{k}_{j=1}\lambda_j v_j$.

  2. Gegeben sei nun

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.4} A=\left(\begin{matrix} \frac{8... ...\frac{84}{41} \\ \frac{8400}{41} & 200 &-\frac{8441}{41} \end{matrix}\right) $

    Überprüfen Sie, dass die Vektoren $ v_1=(100,1,100)^t$ und $ v_2=(1,0,1)^t$ Eigenvektoren von $ A$ sind und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.

    Berechnen Sie für $ v=\left(\frac{2342}{98},\frac{23}{98},\frac{1171}{49}\right)^t$ den Vektor $ A\,v$. Verwenden Sie dazu (1), indem Sie $ v=w_1+w_2$ zerlegen mit $ w_1\in\operatorname{Span}(v_1)$ und $ w_2\in\operatorname{Span}(v_2)$.

    Hinweis: Finger weg vom Taschenrechner!

  1. Für $ v_j\in V(\lambda_j)$ gilt definitionsgemäß $ Av_j=\lambda_j v_j$. Wir nutzen noch die Distributivität der Matrix-Vektor-Multiplikation (was der Linearität der von $ A$ induzierten Abbildung $ v\mapsto Av$ entspricht) und erhalten damit

    $\displaystyle Av=A\sum^{k}_{j=1}v_j=\sum^{k}_{j=1}Av_j=\sum^{k}_{j=1}\lambda_j v_j\,$.

  2. Um für $ j\in\{1,2\}$ die Vektoren $ v_j$ als Eigenvektoren zu identifizieren, müssen wir $ \lambda_j$ finden, so dass $ Av_j=\lambda_j v_j$. Wir berechnen:

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.4} Av_1= \left(\begin{matrix} \fr... ...\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 100 \\ 1 \\ 100 \end{matrix}\right) $

    erhalten also $ Av_1=v_1$ und damit $ \lambda_1=1$. Analog

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.4} Av_2= \left(\begin{matrix} \fr... ...} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right) $

    also $ Av_2=-v_2$ und folglich $ \lambda_2=-1$.

    Nun ist

    $\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.4} v=\left(\begin{matrix} \frac{2... ...atrix}\right) + 42\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \right) $

    also

    $\displaystyle Av$ $\displaystyle =\frac{1}{98}A\left( 23\left(\begin{matrix}100 \\ 1 \\ 100 \end{m... ...}\right) + 42\cdot A\left(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \right)$    
      $\displaystyle = \frac{1}{98}\left( 23\left(\begin{matrix}100 \\ 1 \\ 100 \end{m... ...right) = \frac{1}{98}\left(\begin{matrix}2258 \\ 23 \\ 2258 \end{matrix}\right)$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 6.  2. 2006