Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1217: Transformation einer Quadrik

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bezüglich der Standardbasis $ E$ ist in $ \mathbb{R}^n$ eine quadratische Form über $ q\colon _Ex\mapsto ( \,_Ex)^t A\,( \,_Ex)$ gegeben. Es sei $ B\colon b_1,\ldots, b_n$ eine weitere Basis.
Geben Sie eine Matrix $ C\in\mathbb{R}^{n\times n}$ so an, dass für alle $ x\in\mathbb{R}^n$ gilt: $ (\, _Ex)^t A\,(\, _Ex)=(\, _Bx)^t C\,(\,_Bx)$ .

Zu bestimmen ist die Darstellung der quadratischen Form $ q$ bezüglich der Basis $ B$. Dazu benutzen wir die Basistransformationsmatrix $ _E{\operatorname{id}}_B$. Es gilt $ _Ex= _E\operatorname{id}_B\,_Bx$. Dies setzen wir in die Zuordnungsvorschrift von $ q$ ein:

$\displaystyle (_Ex)^t A\,(_Ex)=(_E\operatorname{id}_B\,_Bx)^t A\,(_E\operatorna... ...t\underbrace{(_E\operatorname{id}_B ^t A\, _E\operatorname{id}_B)}_{=:\,C}(_Bx)$.

Die so definierte Matrix $ C$ erfüllt die gewünschte Bedingung.

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 6.  2. 2006