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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1240: Bestimmen der euklidischen Normalform einer Quadrik sowie skizzieren der Quadrik

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Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, x_1^2+x_1\,x_2+3\,x_2^{}\,x_1^{}+4\,x_2^2+\frac{26}{5}\,x_1^{}+\frac{12}{5}\,x_2^{}-7=0 $

die Normalform. Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.

Zunächst stellen wir die Gleichung der Quadrik in Matrizenform auf und setzen dazu
$ _Ex:=(x_1,x_2,x_3)^t$:

$\displaystyle Q\ :\ (_Ex)^t\cdot \begin{pmatrix}3 & 0 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \cdot _Ex + 2(-4,-22,34)\cdot _Ex-33=0$    

Nun drehen wir als nächstes das Koordinatensystem, d.h. wir führen eine Hauptachsentransformation durch. Die Eigenwerte der Matrix sind 0, $ -9$ und $ 9$. Die Matrix der zugehörigen Eigenvektoren hat folgende Gestalt:

$\displaystyle T:=\frac13\begin{pmatrix}2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$    

Wir transformieren auf das neue Koordinatensystem $ \mathbb{D}$, das von diesen Eigenvektoren aufgespannt wird durch $ _E\kappa_D : _Dx \mapsto T\cdot _Dx$. Die Quadrik $ Q$ hat in den neuen Koordinaten dann folgende Gleichung (einsetzen von $ _Ex=T\cdot_Dx$):

$\displaystyle Q\ :\ (_Dx)^t\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \; _Dx + 2(-6,36,-18)_Dx - 33 = 0$    

Mittels quadratischem Ergänzen errechnen wir die nächste Koordinatentransformation

$\displaystyle _D\kappa_C : \; _Cx \mapsto _Cx+\begin{pmatrix}0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$    

Damit erhalten wir die Quadrik in der Gleichung (mit $ _Cx=(y_1,y_2,y_3)^t$):

$\displaystyle -9y_2^2+9y_3^2+2(-6)y_1-21=0$    

Zuletzt verschieben wir noch, um den konstanten Term zu eliminieren mittels

$\displaystyle _C\kappa_B : _Bx\mapsto _Bx-\begin{pmatrix}\frac{21}{12} \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$    

Damit erhalten wir als euklidische Normalform der Quadrik $ Q$ (mit $ _Bx=(z_1,z_2,z_3)^t$):

$\displaystyle \frac32 z_2^2-\frac32z_3^2+2z_1=0$    

Damit erweist sich $ Q$ als hyperbolisches Paraboloid.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 17.  2. 2006