Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1260: Ableitungen

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1260: Ableitungen

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Bestimmen Sie folgende Ableitungen:

$\displaystyle \mathrm{i)}\ \sqrt{\frac{x^2-7x+2}{x^3+11}},\quad\mathrm{ii)}\ \arccos\sqrt{1-x^2},\quad\mathrm{iii)}\ \ln (1+\sin^2x),\quad\mathrm{iv)}\ x^x$ für $\displaystyle x>0 ,\quad\mathrm{v)}\ x^{x^x}$ für $\displaystyle x>0$

$\displaystyle -1/2\, \left( {x}^{4}-22\,x-14\,{x}^{3}+77+6\,{x}^{2} \right) {\f... ...\sqrt {{\frac {{x}^{2}-7\,x+2}{{x}^{3}+11}}}}} \left( {x}^{3}+11 \right) ^{-2}$
Da $\mathrm{id}=f^{-1}\circ f$ ist $1=\left(f^{-1}\right)'(f(x))f'(x)$ oder eben

$\displaystyle f'(x)=\left(\left(f^{-1}\right)'(f(x))\right)^{-1}$
Demnach ist

$\displaystyle \mathrm{arcos}'= \frac1{-\sin(\mathrm{arcos}(x))}$
und mit $\sin^2x=1-\cos^2x$ erhalten wir schliesslich

$\displaystyle \mathrm{arcos}'= \frac1{-\sqrt{1-x^2}}$
Also ist die Lösung

$\displaystyle \frac1{-\sqrt{1-(1-x^2)}}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac x{\vert x\vert\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{2\sin x\cos x}{1+\sin^2x}$
$x^x(1+\ln x)$
$x^{x^x}x^x\big(x^{-1}+\ln x(1+\ln x)\big)$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 20. 6. 2006