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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1262: Legendre Polynom

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Zeigen Sie, dass das Legendre Polynom n-ter Ordnung

$\displaystyle P_n= \frac{1}{2^nn!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n} \big((x^2-1)^n\big) $

genau $ n$ paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall $ (-1,1)$ besitzt. Hinweis: benutzen Sie den Satz von Rolle.

$\displaystyle (x^2-1)^n $

hat die Nullstellen $ \pm 1$. Wegen $ (fg^n)'=\tilde{f}g^{n-1}$ mit Polynomen $ f,g,\tilde{f}$, bleien diese Nullstellen bis zur $ n-1$ ten Ableitung erhalten.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006