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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1264: Extremwerte

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x) = (x^2 + \lambda x + \frac{\lambda^2}{4}) e^{-x} \; \; , x \in \mathbb{R} \; , $

wobei $ \lambda$ ein reeller Parameter sei. Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von $ \lambda$) alle lokalen Extrema von $ f$. Welche dieser Extrema sind globale Extrema?

$\displaystyle f(x)=(x+\lambda/2)^2\e^{-x}, f'(x)= -(x+\lambda/2)(x+\lambda/2-2)\e^{-x} $

Extrema $ x_1=-\lambda/2$, $ x_2=2-\lambda/2$ mit $ f(x_1)=0$, $ f(x_2)=4\e^{-x_2}>0$. Da $ \lim_{x\to-\infty }f(x) =\infty$ und $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0$, ist $ x_1$ globales Extrema.

N.B.

$\displaystyle f(x-\lambda/2)=e^{\lambda/2}\frac{x^2}{\e^{x}} \leq e^{\lambda/2}\frac{x^2}{1+x+2^{-1}x^2+6^{-1}x^3} \to0 $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006