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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1277: Grenzwerte bestimmen.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Prüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

$\displaystyle \begin{array}{lll} {\bf {a)}} \quad {\displaystyle{\lim_{x\to 0}\... ...f)}} \quad {\displaystyle{\lim_{x\to 0+0}\ \sqrt[x]{1+\sinh{x}}}} \end{array} $


a)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tan 7x} = \lq\lq \tfrac{0}{0} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{7\frac{1}{\cos^{2}(7x)}} = \frac{1}{7} $

b)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln\vert x\vert}{\cot x}= \lq\lq \tfrac{-\infty}{ \infty} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 0} -\frac{\sin^{2}x}{x}= \lq\lq \tfrac{0}{0} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 0} -2\sin x =0 $

c)

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{3}+4x^{2}+3x-8}{3x^{4}+4x^{3}-30x^{2}+36x-13} = \lq\lq \tfrac{0}{0} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 1} \frac{3x^{2}+8x+3}{12x^{3}+12x^{2}-60x+36}=\infty $

d)

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1-\cosh x}{x^{2}} = \lq\lq \tfrac{0}{0} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sinh x}{2x}= \lq\lq \tfrac{0}{0} \lq\lq $

$\displaystyle \stackrel{l\lq H}{=}\lim_{x \to 0} \frac{-\cosh x}{2} = -\frac{1}{2} $

e)

$\displaystyle x^{x}=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x} \quad \mathrm{f''ur}\ x>0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0+0} x\ln x= \lim_{x \to 0+0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}... ...}{=} \lim_{x \to 0+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}= \lim_{x \to 0+0}(-x)=0$

$\displaystyle \Longrightarrow \lim_{x \to 0+0} x^{x} =1$

f)

$\displaystyle \sqrt[x]{1+\sinh x} = (1+\sinh x)^\frac{1}{x} = e^{\frac{\ln(1+\sinh x)}{x}}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0+0} \frac{\ln(1+\sinh x)}{x} \stackrel{l\lq H}{=} \lim_{x \to 0+0}\frac{\cosh x}{1+\sinh x}=1$

$\displaystyle \Longrightarrow \lim_{x \to 0+0} \sqrt[x]{1+\sinh x} = e^{1} = e$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006