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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1278: Taylorpolynom

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Bestimmen Sie das Taylorpolynom $ T_4$ von

$\displaystyle f(x)=\e^x\cos x $

um den Entwicklungspunkt $ x=0$. Können Sie daraus die Taylorreihe bestimmen? Berechnen Sie $ f(0.5)$ auf 5 Stellen genau (also Restglied kleiner gleich $ 0.5*10^5$) mit Hilfe der Taylorreihe. Benutzen Sie hierzu keine transzendenten Funktionen!

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \e^x(\cos x -\sin x)$  
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \e^x(\cos x -2\sin x - \cos x)= -2\e^x\sin x$  
$\displaystyle f'''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\e^x(\sin x +\cos x )$  
$\displaystyle f^{(4)}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\e^x(\sin x +2\cos x -\sin x ) = -4 \e^x\cos x$  

$\displaystyle T_4(x)= 1 + x -\frac{2}{3!} x^3 - \frac{4}{4!}x^4 $

$\displaystyle T(x)=1+ \sum_{k=0}^\infty (-4)^k\frac{x^{1+4k}}{(1+4k)!} + \sum_{... ...frac{x^{3+4k}}{(3+4k)!} + \sum_{k=0}^\infty (-4)^{k+1}\frac{x^{4+4k}}{(4+4k)!} $

$\displaystyle R_n(x)= f^{(n+1)}(\xi)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $

$\displaystyle \vert f^{(8)} (x)\vert \leq 48$    für $\displaystyle x\leq \frac12,\quad \left(\frac12\right)^8=\frac{1}{256},\quad 8!= 40320 $

$\displaystyle \vert R_8\vert \leq .465*10^{-5} $

Es reichen also 7 Glieder der Reihendarstellung.

$\displaystyle T_7(0.5) = 1 + 0.5 - \frac13 \left(\frac12\right)^3 - \frac{1}{3!... ...!} \left(\frac12\right)^5 + \frac{8}{7!}\left(\frac12\right)^7 = 1.44688740079 $

$\displaystyle \vert\e^{0.5}\cos{0.5} - T_7(0.5)\vert \leq .164*10^{-5} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006