Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1279: Taylorreihe mit Lagrange Restglied

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie das Taylorpolynom $ T_n$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=0$ von

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{1+x} $

mit Hilfe bereits bekannter Reihendarstellungen (Tipp: geometrische Reihe) . Bestimmen Sie das Lagrange Restglied $ R_n$ und die Taylorreihe. In welchen Intervallen stellt die Taylorreihe die Funktion $ f(x)$ dar (d.h konvergiert die Folge der Lagrange Restglieder $ R_n$ gleichmäßig gegen 0) ?
Reihe

$\displaystyle \frac{x}{1+x}=x\sum_{k=0}^\infty (-x)^k = \sum_{k=1}^\infty -(-x)^k $

$\displaystyle f(x)= 1-\frac{1}{1+x} $

$\displaystyle \left((1+x)^{-1}\right)^{(n)}=(-1)^nn!(1+x)^{-n-1} $

Hieraus Restglied

$\displaystyle R_n=(-1)^{n}(1+\xi )^{-n-2}x^{n+1}$    für $\displaystyle \xi \in (\min\{0,x\},\max\{0,x\}) $

mit Abschätzung

$\displaystyle \vert R_n\vert \leq (1+\min\{x,0\})^{-n-2}x^{n+1} $

$ R_n$ kongergiert also gleichmäßig gegen Null auf allen Intervallen $ [a,b]$ mit $ a>-0.5$ und $ b<1$.

Man beachte, dass dies nicht dem wirklichen Konvergenzradius entspricht, da wir die Zwischenstelle $ \xi$ nur grob abgeschätzt haben.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 20.  6. 2006