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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1286: Stammfunktion durch Approximation mit Treppenfunktionen.

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Berechnen Sie die Stammfunktion von $ x^2$ mittels Approximation des Integrals durch Treppenfunktionen.

$\displaystyle \int_0^u x^2 \,\mathrm{d} x $

äquidistante Zerlegung von $ [0,u]$ : $ x_0 = 0, x_1 = u/n, x_2 =2u/n , ....$ Treppenfunktionen

$\displaystyle t_n(x) := (uj/n)^2 \mathrm{ für } x \in (x_{j-1},x_j] , j=1,...,n \mathrm{ bzw. } t_n(0)=0; $

dann Integral über die Treppenfunktion

$\displaystyle \int_0^u t_n(x) dx = \sum_{j=1}^n u/n \cdot (uj/n)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{j=1}^n j^2 = \frac{u^3}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $

Dann $ n \rightarrow \infty$
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006