Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1288: Supremumsnorm

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1288: Supremumsnorm

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Wir betrachten den Raum

$\displaystyle F := \{ f:[a,b]\to\mathbb{R}\, \big\vert\, \exists\,C\in\mathbb{R} : \vert f(x)\vert<C \,\forall x\in[a,b] \}$

der reellwertigen beschränkten Funktionen auf dem Intervall

mit der Supremumsnorm

$\displaystyle \Vert f\Vert _\infty := \sup\{ \vert f(x)\vert\, \big\vert\, x\in [a,b]\}$

Zeigen Sie, dass

die Supremumsnorm eine Norm auf dem Raum ist,
die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm $\Vert\cdot\Vert _\infty$ äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz ist.

i) Nach der Definition von

ist klar, dass $\Vert f\Vert _{\infty}$ für alle $f \in F$ endlich ist. Zu zeigen bleiben die Normaxiome.

positiv definit:

$\Vert f\Vert _{\infty} \, \geq \, \vert f(x)\vert \, \geq \, 0$ gilt für jedes $x \in [a,b]$ . Gilt andererseits $\Vert f\Vert _{\infty} \, = \, 0$ , so folgt für jedes $x \in [a,b]$ , dass $0 \leq \vert f(x)\vert \leq \Vert f\Vert _{\infty} = 0$ und somit $\vert f(x)\vert = 0$ bzw. gilt. $\Vert f\Vert _{\infty} \, = \, 0$ impliziert also $f \, \equiv \, 0$ .
absolut-homogen:

Es ist für $\lambda \in \mathbb{R}$ und $f \in F$

$\displaystyle \Vert\lambda f\Vert _{\infty} \, = \, \sup \{\vert\lambda \, f(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$ $\displaystyle \, = \, \sup \{\vert\lambda\vert \cdot \vert f(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$

$\displaystyle \, = \, \vert\lambda\vert \cdot \Vert f\Vert _{\infty}.$
Dreiecksungleichung

Seien $f,\tilde{f} \in F$ . Dann gilt unter Verwendung der Dreiecksungleichung für Beträge

$\displaystyle \Vert f + \tilde{f}\Vert _{\infty}$ $\displaystyle \, = \, \sup \{\vert f(x) + \tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$

$\displaystyle \, \leq \, \sup \{\vert f(x)\vert \, + \, \vert\tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$

$\displaystyle \, \leq \, \sup \{\vert f(x)\vert \mid x \in [a,b]\} \, + \, \sup \{\vert\tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$

$\displaystyle \, = \, \Vert f\Vert _{\infty} \, + \, \Vert\tilde{f}\Vert _{\infty}.$

ii) Eine Folge $(f_{n})_{n}$ in konvergiert nach Definition gleichmäßig gegen ein $f \in F$ genau dann, wenn

$\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n \geq N \, \forall x \in [a,b] \, : \, \vert f_{n}(x) - f(x)\vert \, \leq \, \varepsilon.$

Die Aussage $\forall x \in [a,b] \, : \, \vert f_{n}(x) - f(x)\vert \, \leq \, \varepsilon$ ist dann gleichbedeutend mit $\Vert f_{n} - f\Vert _{\infty} \, = \, \sup \{ \vert f_{n}(x) - f(x)\vert \mid x \in [a,b] \} \, \leq \, \varepsilon$ . Gleichmäßige Konvergenz kann somit auch wie folgt geschrieben werden:

$\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n \geq N \, \Vert f_{n} - f\Vert _{\infty} \, \leq \, \varepsilon.$

Dies aber ist exakt die Definition, dass $(f_{n})_{n}$ gegen in der Supremumsnorm konvergiert.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 20. 6. 2006

$\displaystyle \Vert\lambda f\Vert _{\infty} \, = \, \sup \{\vert\lambda \, f(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$	$\displaystyle \, = \, \sup \{\vert\lambda\vert \cdot \vert f(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$
	$\displaystyle \, = \, \vert\lambda\vert \cdot \Vert f\Vert _{\infty}.$

$\displaystyle \Vert f + \tilde{f}\Vert _{\infty}$	$\displaystyle \, = \, \sup \{\vert f(x) + \tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$
	$\displaystyle \, \leq \, \sup \{\vert f(x)\vert \, + \, \vert\tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$
	$\displaystyle \, \leq \, \sup \{\vert f(x)\vert \mid x \in [a,b]\} \, + \, \sup \{\vert\tilde{f}(x)\vert \mid x \in [a,b]\}$
	$\displaystyle \, = \, \Vert f\Vert _{\infty} \, + \, \Vert\tilde{f}\Vert _{\infty}.$