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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1309: Zassenhaus-Algorithmus

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien \begin{displaymath}U_1 = \langle \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1... ...} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right) \rangle\end{displaymath} und \begin{displaymath}U_2 = \langle \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -... ... -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) \rangle\end{displaymath}
Unterräume des Vektorraums $ \mathbb{R}^5$ .

1.
Bestimme Basen für $ U_1$ und $ U_2$ .
2.
Bestimme eine Basis für $ U_1\cap U_2$ und die Dimension von $ U_1 + U_2$ .

1.
Für $ U_1$ berechnen wir eine Zeilenstufenform

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0... ... 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \; . \end{displaymath}

Die ausgewählten Spalten sind $ 1$ , $ 2$ und $ 4$ , und entsprechend können wir aus dem gegebenen erzeugenden Tupel Vektoren zu einer Basis \begin{displaymath}( \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ... ...rray}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}\right))\end{displaymath} von $ U_1$ auswählen.

Für $ U_2$ berechnen wir eine Zeilenstufenform

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & ... ... 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \; . \end{displaymath}

Die ausgewählten Spalten sind $ 1$ , $ 3$ und $ 4$ , und entsprechend können wir aus dem gegebenen erzeugenden Tupel Vektoren zu einer Basis \begin{displaymath}(\left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ ... ...ay}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) )\end{displaymath} ausgewählt werden.

2.

Gemäß Zassenhaus-Algorithmus berechnen wir

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \left(\begin{array}{rrrrr\vert rrrrr} 1 &... ...& 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ \end{array}\right)\; . \end{array}\end{displaymath}

Es war nicht direkt gefragt, nichtsdestoweniger können wir eine Basis \begin{displaymath}(\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \... ...ay}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array}\right) )\end{displaymath} von $ U_1 + U_2$ ablesen.

Darüberhinaus ist \begin{displaymath}(\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ ... ...ay}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}\right) )\end{displaymath} eine Basis von $ U_1\cap U_2$ .

Insbesondere ist

$\displaystyle \dim (U_1 + U_2) \; =\; \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2) \; =\; 3 + 3 - 2 \; =\; 4\; , $

was wir auch an der Zahl der Basisvektoren von $ U_1 + U_2$ hätten erkennen können.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006