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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1310: Abstands- und Winkelbestimmung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien

$\displaystyle p \;=\; \left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\;,\... ... \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\;\in\;\mathbb{R}^4\; . $

Sei $ g$ die Gerade durch $ p$ und $ q$ .

1.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1\rangle$ eingeschlossenen Winkel.
2.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ eingeschlossenen Winkel.
3.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ eingeschlossenen Winkel.

Wenden wir Gram-Schmidt auf das zu einer Basis ergänzte Tupel $ \Big(\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}... ... 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Big)$ an, so erhalten wir

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x'_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin... ...in{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

1.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\... ...4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = 0 \right.\right\}\; . $

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_1 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 0 & -1/\sqrt{6} &... ...qrt{6}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \sqrt{\frac{3}{2}}\; . $

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1\rangle$ ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1\rangle}\Big(\begin{pmatr... ...\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right) \\ \end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1\rangle}(q-p) = \pi_{\langle x_1\rangle}(\left(\begin{array}{r... ...ay}\right)) = -\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_1$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_1 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1\rangle... ...(q-p)\Vert} \;=\; \frac{1/2}{\sqrt{2}\cdot 1/\sqrt{2}} \;=\; \frac{1}{2} \; . $

Damit wird $ \varphi_1 = \pi/3 \approx 1.0472$ .

2.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1,x_2\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\\ \x... ...xi_4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = 0 \right.\right\}\; . $

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_2 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1/\sqrt{3} & ... ...{pmatrix}-1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \frac{2}{\sqrt{3}}\; . $

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1,x_2\rangle$ ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1,x_2\rangle}\Big(\begin{p... ...begin{array}{r}0\\ -1\\ 2\\ 1\end{array}\right) \\ \end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1,x_2\rangle}(q-p) = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}0\\ -2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_2$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_2 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1,x_2\ra... ...ert} \;=\; \frac{2/3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}/3} \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}} \; . $

Damit wird $ \varphi_2\approx 0.9553$ .

3.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\... ...\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix} - \left(1\right) = 0 \right.\right\}\; . $

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_3 \; :=\; \left\Vert\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ ... ...t(1\right) \right\Vert \;=\; \left\Vert \left(1\right) \right\Vert \;=\; 1\; . $

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}\Big(\beg... ...begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right) \\ \end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}(q-p) = \left(\begin{array}{r}0\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_3$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_3 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1,x_2,x_... ...gle}(q-p)\Vert} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}} \; . $

Damit wird $ \varphi_2 = \pi/4\approx 0.7854$ .

Wir beobachten, daß $ d_1 \geq d_2 \geq d_3$ und $ \varphi_1 \geq \varphi_2 \geq \varphi_3$ , im Einklang mit der Anschauung.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006