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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1310: Abstands- und Winkelbestimmung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien

$\displaystyle p \;=\; \left(\begin{array}{r}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\;,\...
... \left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\;\in\;\mathbb{R}^4\; .
$

Sei $ g$ die Gerade durch $ p$ und $ q$ .

1.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1\rangle$ eingeschlossenen Winkel.
2.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ eingeschlossenen Winkel.
3.
Berechne den Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ . Berechne den von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ eingeschlossenen Winkel.


Wenden wir Gram-Schmidt auf das zu einer Basis ergänzte Tupel $ \Big(\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}...
... 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Big)$ an, so erhalten wir

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
x'_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin...
...in{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\; . \\
\end{array}\end{displaymath}

1.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\...
...4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = 0
\right.\right\}\; .
$

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_1 \; :=\;
\left\Vert\left(\begin{array}{cccc}
0 & -1/\sqrt{6} &...
...qrt{6}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \sqrt{\frac{3}{2}}\; .
$

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1\rangle$ ist

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\pi_{\langle x_1\rangle}\Big(\begin{pmatr...
...\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right) \\
\end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1\rangle}(q-p) = \pi_{\langle x_1\rangle}(\left(\begin{array}{r...
...ay}\right)) = -\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_1$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_1 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1\rangle...
...(q-p)\Vert}
\;=\; \frac{1/2}{\sqrt{2}\cdot 1/\sqrt{2}} \;=\; \frac{1}{2} \; .
$

Damit wird $ \varphi_1 = \pi/3 \approx 1.0472$ .

2.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1,x_2\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\\ \x...
...xi_4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = 0
\right.\right\}\; .
$

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_2 \; :=\;
\left\Vert\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1/\sqrt{3} & ...
...{pmatrix}-1/\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix} \right\Vert \;=\; \frac{2}{\sqrt{3}}\; .
$

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1,x_2\rangle$ ist

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\pi_{\langle x_1,x_2\rangle}\Big(\begin{p...
...begin{array}{r}0\\ -1\\ 2\\ 1\end{array}\right) \\
\end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1,x_2\rangle}(q-p) = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{r}0\\ -2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_2$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_2 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1,x_2\ra...
...ert}
\;=\; \frac{2/3}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}/3} \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}} \; .
$

Damit wird $ \varphi_2\approx 0.9553$ .

3.
In Hessescher Normalenform wird

$\displaystyle p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle \;=\; \left\{\begin{pmatrix}\xi_1\...
...\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix} - \left(1\right) = 0
\right.\right\}\; .
$

Der Abstand von $ q$ zu $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ ergibt sich zu

$\displaystyle d_3 \; :=\;
\left\Vert\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ ...
...t(1\right)
\right\Vert \;=\; \left\Vert \left(1\right) \right\Vert \;=\; 1\; .
$

Die orthogonale Projektion auf $ \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ ist

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}\Big(\beg...
...begin{array}{r}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right) \\
\end{array}\end{displaymath}

für $ \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3\\ \xi_4\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^4$ . Insbesondere wird $ \pi_{\langle x_1,x_2,x_3\rangle}(q-p) = \left(\begin{array}{r}0\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ .

Der Cosinus des von $ g$ und $ p + \langle x_1,x_2,x_3\rangle$ eingeschlossenen Winkels $ \varphi_3$ ergibt sich damit zu

$\displaystyle \cos\varphi_3 \;=\; \frac{(q-p)^\mathrm{t}\pi_{\langle x_1,x_2,x_...
...gle}(q-p)\Vert}
\;=\; \frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}} \; .
$

Damit wird $ \varphi_2 = \pi/4\approx 0.7854$ .

Wir beobachten, daß $ d_1 \geq d_2 \geq d_3$ und $ \varphi_1 \geq \varphi_2 \geq \varphi_3$ , im Einklang mit der Anschauung.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006