Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 1312: Lineare Abbildungen auf Polynomrämen

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	Aufgabe 1312: Lineare Abbildungen auf Polynomrämen

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Betrachte die Abbildungen

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb... ...mapsto & f(X)^2 \\ f(X) & \mapsto & f(f(X))\;. \\ \end{array}\end{displaymath}$

1.: Entscheide, welche Abbildungen dieser Liste linear sind. Begründe jeweils.
2.: Sei $\mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ der Vektorraum über $\mathbb{R}$ der Polynome von Grad $\leq 4$ . Sei $\varphi$ die Summe der linearen Abbildungen dieser Liste, jeweils eingeschränkt zu einem Endomorphismus von $\mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ . Wähle eine Basis von $\mathbb{R}[X]_{\leq 4}$ und gib die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis an.
3.: Gib eine Basis von $\operatorname{Kern}\varphi$ und $\operatorname{Bild}\varphi$ an. Ist $\varphi$ injektiv? Ist $\varphi$ surjektiv?
4.: Gib die Darstellungsmatrix von $\varphi\circ\varphi$ bezüglich der Basis in 2. an.

1.: Die Verkettung linearer Abbildungen ist linear.
2.: Verwende etwa die Basis $\underline{b}:=(1,X,X^2,X^3,X^4)$ .
3.: Verwende die Darstellungsmatrix.
4.: Verwende die Formel für die Darstellungsmatrix einer Verkettung linearer Abbildungen.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006