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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1315: Volumenbestimmung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ t\in\mathbb{R}$ , und sei

$\displaystyle (\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 0\\ 2\\ t\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix... ...\ 1\\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}) $

ein Tupel von Vektoren im $ \mathbb{R}^5$ . Berechne das $ 4$ -dimensionale Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten $ 4$ -Parallelotops. Für welches $ t\in\mathbb{R}$ nimmt dieses Volumen sein Minimum an?

Sei $ A = \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &... ...2 & 0 & 1 & 0 \\ t & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{5\times 4}$ . Das gefragte Volumen ist gegeben durch $ \sqrt{\det(A^\mathrm{t} A)}$ .

Wir berechnen

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \det (A^\mathrm{t} A) \;=\; \det\left(\begi... ...nd{array}\right) \;=\; 2((t + 1)^2 + 27/2) \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Damit beträgt das Volumen $ \sqrt{2((t + 1)^2 + 27/2)}$ . Sein Minimum wird bei $ t = -1$ angenommen und beträgt dort $ \sqrt{27}=3\sqrt{3}$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006