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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1317: Berechnung der Jordanform

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Sei

$\displaystyle A\;:=\;\left(\begin{array}{rrrrrr} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ -... ...& -2 & -1 & 0 & -1 & -3 \\ \end{array}\right)\;\in\;\mathbb{C}^{6\times 6}\;. $

1.
Bestimme eine invertierbare Matrix $ S\in\mathbb{C}^{6\times 6}$ so, daß $ J := S^{-1}AS$ in Jordanform ist.
2.
Betrachte die Abbildung

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{H}_A(\lambda_1) &\to & \mathrm{H}_A(\lambda_1)\\ x &\mapsto & Ax\;, \end{array}\end{displaymath}

wobei $ \lambda_1$ der Eigenwert von $ A$ mit algebraischer Vielfachheit vier sei. Bestimme ihre Darstellungsmatrix bezüglich der im Algorithmus mit $ (\underline{y}_1,\ldots,\underline{y}_l)$ bezeichneten Basis.
3.
Berechne $ A^n$ für $ n\geq 0$ .

1.
Es ist $ \chi_A(X)=X^4(X+1)^2$ .
2.
Das Resultat ist i.a. kein Jordanblock.
3.
Berechne $ A^n = S J^n S^{-1}$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006