Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 1320: Definitheit und unitäre Diagonalisierung

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu
	Aufgabe 1320: Definitheit und unitäre Diagonalisierung

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Sei

$\displaystyle A \;:=\; \left(\begin{array}{rrrrr} 9& 0& 6& -3& 6\\ 0& 9& 6& 6&... ... 6& 2& 5& -4\\ 6& -3& 2& -4& 5 \end{array}\right)\in\mathbb{C}^{5\times 5}\;.$

1.: Kann man durch bloßes Betrachten der Matrix ausschließen, daß positiv semidefinit ist oder daß negativ semidefinit ist?
2.: Untersuche mittels Hauptminoren auf Definitheit.
3.: Untersuche mittels charakteristischem Polynom auf Definitheit.
4.: Berechne die Signatur von mittels beidseitigem Gaußschen Algorithmus.
5.: Diagonalisiere unitär.

1.: Betrachte die Hauptdiagonalelemente.
2.: Bestimme die Determinante der $1\times 1$ -Matrix im linken oberen Eck, die Determinante der $2\times 2$ -Matrix im linken oberen Eck, usw.
3.: Betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten von $\chi_A(X)$ .
4.: Untersuche die resultierende Diagonalmatrix auf Vorzeichen.
5.: Bestimme eine unitäre Matrix und eine Diagonalmatrix so, daß $\bar{U}^\mathrm{t} AU=D$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006