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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1325: Gradient, Richtungsableitungen und Differenzierbarkeit

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x_1,x_2)=\begin{cases}\dfrac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2} & \mbox{falls $(x_1,x_2)\ne(0,0)$}\\ 0 & \text {sonst}\;. \end{cases}$

a)
Zeigen Sie, dass $ f$ stetig ist.
b)
Zeigen Sie, dass für alle Richtungen $ v\in\mathbb{R}^2$ und alle $ x\in\mathbb{R}^2$ die Richtungsbleitung $ \dfrac{\partial f}{\partial v}(x)$ existiert und berechnen Sie sie.
c)
Bestimmen Sie den Gradienten von $ f$ im Punkt $ (0,0)$.
d)
Zeigen Sie, dass $ f$ nicht differenzierbar im Punkt $ (0,0)$ ist.

  1. Die Funktion $ f$ , eingeschränkt auf $ \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\mathrm{t}\}$ , ist differenzierbar als Quotient von differenzierbaren Funktionen. Also ist $ f$ auch stetig in allen Punkten $ x\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\mathrm{t}\}$ . Es bleibt die Stetigkeit im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ zu überprüfen.

    Es sei $ \varepsilon>0$ gegeben. Wir müssen so ein $ \delta>0$ finden, daß

    $\displaystyle \Vert x\Vert\; =\; \Vert x-(0,0)^\mathrm{t}\Vert\; <\; \delta \;\;\mathbb{R}ightarrow\;\; \vert f(x)\vert\;<\;\varepsilon\;. $

    für alle $ x\in\mathbb{R}^2$ .

    Es gilt für alle $ x=(x_1,x_2)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\mathrm{t}\}$

    $\displaystyle \vert f(x)\vert \;=\; \left\vert\dfrac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}\right\... ...;\dfrac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2} \;\leq\; \vert x_1\vert\; \;\leq\; \Vert x\Vert\;. $

    Die Ungleichung $ \vert f(x)\vert\leq\Vert x\Vert$ gilt sogar für alle $ x\in\mathbb{R}^2$ . Setzt man $ \delta:=\varepsilon$ , so gilt für alle $ x\in\mathbb{R}^2$ mit $ \Vert x\Vert<\delta$ stets $ \vert f(x)\vert\leq\Vert x\Vert<\varepsilon$ . Damit ist $ f$ definitionsgemäß stetig in $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

  2. Es sei $ v=(v_1,v_2)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2$ eine Richtung, d.h. es sei $ v_1^2 + v_2^2 = 1$ . Die Richtungsableitungen in allen Punkten $ x\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\mathrm{t}\}$ existieren, da $ f$ eingeschränkt auf $ \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)^\mathrm{t}\}$ differenzierbar ist.

    Im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ gilt

    \begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0) &=&... ...0}\dfrac{1}{h}\;\dfrac{h^3 v_1^3}{h^2} &=& v_1^3\;. \end{array}\end{displaymath}

    Also existieren auch alle Richtungsableitungen im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

  3. Die partiellen Ableitungen von $ f$ nach $ x_1$ bzw. $ x_2$ sind gleich den Richtungsableitungen von $ f$ in den Richtungen $ (1,0)^\mathrm{t}$ bzw. $ (0,1)^\mathrm{t}$ . Nach Teil $ 2.$ ergibt sich also

    $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(0,0)=1,\;\;\; \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)=0,\;\;\; (\nabla f)(0,0)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\;.$

    Alternativ kann man die Definition der partiellen Ableitung verwenden.

  4. Wäre $ f$ differenzierbar im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ , so gälte die Gleichung

    $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0) \;=\; f'(0,0)\cdot v \;=\; \left(1\;,\; 0\right){v_1 \choose v_2} \;=\; v_1 $

    für alle Richtungen $ v=(v_1,v_2)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2$ . Nach Aufgabenteil 2. gilt jedoch

    $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial v}(0,0) \;=\; v_1^3\;.$

    Dies ist z.B. für die Richtung $ v:=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})^\mathrm{t}$ ein Widerspruch. Also ist $ f$ nicht differenzierbar im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

Skizze von $ f$ .

\includegraphics[width = 8cm]{s2.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006