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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1326: Differenzierbarkeit von Umkehrfunktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien $ U\subseteq\mathbb{R}^m$ und $ V\subseteq\mathbb{R}^n$ offene Mengen, und $ f:U\to V$ sei eine bijektive differenzierbare Funktion so, daß auch die Umkehrfunktion $ f^{-1}:V\to U$ wieder differenzierbar sei.

Zeige, daß $ m=n$ und $ (f^{-1})'(y) = (f'(f^{-1}(y)))^{-1} $ für alle $ y\in V$ .

Es gilt $ f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_U$ und $ f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_V$ . Es sei $ y\in V$ und $ x:=f^{-1}(y)$ . Dann folgt mit der Kettenregel

$\displaystyle \mathrm{E}_n \;=\; (f\circ f^{-1})'(y) \;=\; f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y) $

und

$\displaystyle \mathrm{E}_m \;=\; (f^{-1}\circ f)'(x) \;=\; (f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x) \;=\; (f^{-1})'(y)\cdot f'(f^{-1}(y))\;. $

Also sind die Matrizen $ (f^{-1})'(y)$ und $ f'(f^{-1}(y))$ zueinander invers. Aus der Linearen Algebra folgt daher, daß $ m=n$ und

$\displaystyle (f^{-1})'(y) \;=\; (f'(f^{-1}(y)))^{-1}\;. $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006