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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1327: Satz von Taylor

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Sei $ f:(\mathbb{R}_{>0})^3\to\mathbb{R}$ definiert durch $ f(x_1,x_2,x_3)=\sqrt{x_1+x_2+x_3^2}$ . Sei $ x_0=(1,1,1)^\mathrm{t}$ . Sei $ h=(h_1,h_2,h_3)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3$ variabel.

1.
Berechne das 2. Taylorpolynom $ \mathrm{T}_2(f,x_0,h)$ .
2.
Sei $ 0 < \delta < 1$ . Schätze $ f(x_0 + h) - \mathrm{T}_2(f,x_0,h)$ für $ \Vert h\Vert \le \delta$ mittels Satz von Taylor dergestalt ab, daß die gefundene obere Schranke nicht von $ h$ abhängt. Optimalität dieser Schranke ist nicht verlangt, wohl aber sollte sie von Ordnung $ \mathrm{O}(\delta^3)$ sein für $ \delta\to 0$ .

1.
Als Zwischenergebnis erhält man

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial^2 f}{(\partial x_1)^2}(x)... ...& = & (x_1 + x_2)(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-3/2}\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

unter Verwendung der Symmetrie des Ausdrucks für $ f(x)$ in $ x_1$ und $ x_2$ .
2.
Verwende die (nicht optimale) Abschätzung, daß $ x_1 + x_2 + x_3^2 \ge 2(1 - \delta)$ für $ x = (x_1,x_2,x_3)^\mathrm{t}$ mit $ \Vert x - x_0\Vert \le \delta$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006