Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1327: Satz von Taylor

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ f:(\mathbb{R}_{>0})^3\to\mathbb{R}$ definiert durch $ f(x_1,x_2,x_3)=\sqrt{x_1+x_2+x_3^2}$ . Sei $ x_0=(1,1,1)^\mathrm{t}$ . Sei $ h=(h_1,h_2,h_3)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3$ variabel.

1.
Berechne das 2. Taylorpolynom $ \mathrm{T}_2(f,x_0,h)$ .
2.
Sei $ 0 < \delta < 1$ . Schätze $ f(x_0 + h) - \mathrm{T}_2(f,x_0,h)$ für $ \Vert h\Vert \le \delta$ mittels Satz von Taylor dergestalt ab, daß die gefundene obere Schranke nicht von $ h$ abhängt. Optimalität dieser Schranke ist nicht verlangt, wohl aber sollte sie von Ordnung $ \mathrm{O}(\delta^3)$ sein für $ \delta\to 0$ .

1.
Zunächst werden

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x) \;=\;... ..._3}(x) & = & \dfrac{x_3}{\sqrt{x_1+x_2+x_3^2}} \\ \end{array}\end{displaymath}

für $ x\in\mathbb{R}_{>0}^3$ .

Sodann werden

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \dfrac{\partial^2 f}{(\partial x_1)^2}(x)... ...& = & (x_1 + x_2)(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-3/2}\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Also ergibt sich

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{T}_2(f,x_0,h) &=& f(x_0)+f'(x_0)h... ...} - \dfrac{h_1 h_3}{6} - \dfrac{h_2 h_3}{6}\Big)\;. \end{array}\end{displaymath}

2.
Wir berechnen zunächst

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \dfrac{\partial^3 f}{(\partial x_1)^3}(x)... ...1 + x_2)(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-5/2} \vspace*{2mm}\\ \end{array}\end{displaymath}

Beachte, daß $ \vert(x_1 + x_2 + x_3^2)^{-5/2}\vert \le \vert(x_1 + x_2)^{-5/2}\vert \le (2(1 - \delta))^{-5/2}$ für $ x = (x_1,x_2,x_3)^\mathrm{t}$ mit $ \Vert x - x_0\Vert < \delta$ .

Verwende ferner die Abschätzungen $ \vert x_1\vert,\, \vert x_2\vert,\, \vert x_3\vert\, \le 2$ .

Für den Betrag des Restglieds liefert der Satz von Taylor mit einem $ \lambda\in [0,1]$ für $ \Vert h\Vert \le \delta$ die Abschätzung

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \vert f(x_0 + h) - \mathrm{T}_2(f,x_0,h)\... ...frac{27}{2}\,\delta^3 (2(1 - \delta))^{-5/2}\; .\\ \end{array}\end{displaymath}

Diese Schranke ist von Ordnung $ \mathrm{O}(\delta^3)$ , i.e. geteilt durch $ \delta^3$ bleibt sie für $ \delta\to 0$ beschränkt.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006